Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 2 )

Доказательство. Введем обозначение: Из непрерывности функций а и f следует непрерывность функции ц. Справедливость неравенств (2.6), (2.7) следует из соотношений (2.11), (2.12). Тогда утверждения теоремы вытекают из Леммы 2.1. Теорема доказана.

Для доказательства разрешимости Задачи 2.1 мы воспользуемся известным результатом из теории оптимального управления для систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Зададим замкнутое подмножество
. Рассмотрим систему, описываемую задачей Коши (2.8), (2.9) при выполнении условий Леммы 2.1, причем под управлением понимается измеримое отображение . Допустимой парой для рассматриваемой системы является такая пара «состояние – управление», которая удовлетворяет соотношениям (2.8), (2.9) и включению

                                                (2.14)

Зададим функцию Каратеодори Ф с неотрицательными значениями на множестве
. Зададим функционал

Задача 2.2. Найти минимум функционала I на множестве допустимых пар системы (2.8), (2.9).

Для любой точки определим сечение . Зададим множество и функцию с помощью равенства

Известно следующее утверждение о разрешимости оптимизационной задачи ([1], Statement 4.2), где под понимается множество действительных чисел, дополненное величинами -∞ и +∞:

Лемма 2.3. Пусть при выполнении условий Леммы 2.1 множество выпукло для всех , а функция выпукла для всех . Тогда Задача 2.2 имеет решение.

Пусть Х есть замыкание объединения . Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2.4. Пусть Х – компакт, функция F непрерывна на . Тогда функция Ф, задаваемая равенством где есть максимум функции F на множестве удовлетворяет условиям Леммы 2.3.

Доказательство. Существование максимума следует из теоремы Вейерштрасса. Не отрицательность определенной выше функции Ф очевидна. Она является функцией Каратеодори в силу непрерывности F. Наконец, выпуклость функции для всех реализуется, поскольку функция F не зависит от управления u. Лемма доказана.

Пусть U есть замыкание объединения . Для сведения ограничений (2.4), (2.5) к виду (2.14) зададим множество таким образом, чтобы выполнялось соотношение:

Лемма 2.5. Пусть отображения являются непрерывными в каждой точке в следующем смысле: если справедливы включения где , и выполняется сходимость последовательностей
, , то справедливы включения Тогда множество Е замкнуто.

Доказательство. Рассмотрим такую последовательность элементов множества Е, что имеет место сходимость . Из включения в силу определения множества Е следуют включения , Из замкнутости отрезка следует включение . Пользуясь условиями леммы, установим, что Таким образом, справедливо включение , т. е. множество Е замкнуто. Лемма доказана.

Убедимся, что условия леммы не являются чрезмерно ограничительными. Рассмотрим, к примеру, типичную ситуацию для скалярного случая, когда задано множество где функции а и b непрерывны. Пусть выполняются включения где ,  и сходимость , Тем самым справедливы неравенства . Переходя здесь к пределу с учетом непрерывности функций а и b, получаем результат откуда следует, что Таким образом, отображение непрерывно в отрезке [0, T].