Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 9 )

Учитывая равенство , получаем оценку

,                

где

.

Обозначив через максимальную из констант Липшица функции , будем иметь

.        

Итак, в случае достаточной малости разности настраиваемых коэффициентов и значения и (а так же и ) будут сколь угодно близки друг к другу. Определим сходящуюся последовательность . Тогда, найдя математические ожидания от левой и правой частей последнего неравенства, получим следующее неравенство:

.

Отсюда следует сходимость

из которой следует непрерывность функции .

Поскольку , то все множества ограничены. Замкнутость множеств следует из замкнутости множеств , , доказанной выше непрерывности отображений , и определения множества как полного прообраза указанных множеств при непрерывных отображениях. Утверждение теоремы следует из теоремы Вейерштрасса о достижении непрерывной на компакте функции своей верхней грани.

2.2 Достаточные условия непрерывной зависимости оптимальных значений критериев задач параметрического регулирования от неуправляемых функций

В рамках разработки 4 компоненты теории параметрического регулирования в этом разделе выводятся достаточные условия непрерывной зависимости от неуправляемых функций а(·) оптимальных значений критериев всех рассмотренных выше задач параметрического регулирования неавтономных детерминированных динамических систем и достаточные условия непрерывной зависимости от неуправляемых параметров оптимальных значений критериев рассмотренных выше задач параметрического регулирования автономных стохастических динамических систем. Все сформулированные для неавтономных систем результаты остаются справедливыми и для автономных динамических систем, где экзогенная векторная функция a(∙) принята постоянной.

Следующая теорема устанавливает достаточные условия непрерывной зависимости оптимальных значений критерия для задачи 2.4.

Теорема 2.15. Предположим, что при выполнении условий теоремы 2.10 в окрестности (в евклидовой топологии) функции а(·) функция f непрерывна по третьему аргументу и удовлетворяет условию Липшица по первому аргументу на Х равномерно по второму и третьему аргументам. Тогда оптимальное значение критерия для задачи 2.4 непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке а(·).

Доказательство. Пусть имеет место сходимость

в Rsn.                                                (2.67)

Согласно теореме 2.10 задача 2.4 при значениях неуправляемых функций а и ak имеет решение, которое обозначим, соответственно, через и и иk. Обозначим через   решение уравнений состояния (2.43), (2.44), соответствующие неуправляемой функции b и управлению w. Тем самым функция удовлетворяет соотношениям

               (2.68)

                               (2.69)

Тогда справедливы неравенства

где через обозначено значение критерия K при данном значении состояния системы у. В результате получаем соотношения:

(2.70)

Из условий (2.68) выводим неравенства

где L есть константа Липшица функции f по первому аргументу, которая не зависит от w. В результате получаем неравенство

 

где

Далее установим соотношения

Из начального условия (2.69) следует, что . Тогда справедлива оценка

из которой следует, что

Отметим, что правая часть этого неравенства не зависит от w.

Из условия (2.67) в силу непрерывности функции f по третьему аргументу, а также замкнутости и ограниченности множеств X и U следует сходимость . Тогда из последнего неравенства выводим, что

равномерно по w, .