Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 1 )

Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им.

ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования

, ,

КазНТУ им.

Содержание

2.1 Достаточные условия существования решений задач по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования

2.1.1 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования непрерывной динамической системы

2.1.2 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования непрерывной динамической системы

2.1.3 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной динамической системы

2.1.4 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования дискретной динамической системы

2.1.5. Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы

2.1.6. Условия существования решения задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы

2.2 Достаточные условия непрерывной зависимости оптимальных значений критериев задач параметрического регулирования от неуправляемых функций

2.3 Достаточные условия существования точек бифуркации экстремалей задач по выбору оптимальных законов параметрического регулирования

References

2.1 Достаточные условия существования решений задач по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования

2.1.1 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования непрерывной динамической системы

Рассмотрим непрерывную управляемую систему*

                                       (2.1)

,                                                        (2.2)

_________________

* Все сформулированные в этой части результаты для неавтономных динамических систем остаются справедливыми и для автономных динамических систем, если экзогенную векторную функцию a(∙) принять за постоянную.

где t – время; – вектор-функция состояния системы; – вектор-функция управления; – известная вектор-функция; – начальное состояние системы, известный вектор; f – известная вектор-функция своих аргументов.

Задача синтеза оптимальных значений экономических инструментов заключается в нахождении экстремума следующего критерия

,                                (2.3)

где F – известная функция, при фазовых ограничениях

,                                                (2.4)

где X(t) – заданное множество и при явных ограничениях на управление:

,                                                (2.5)

где U(t) – заданное множество.

Сформулируем задачу вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для непрерывной динамической системы.

Задача 2.1. При известной функции a(⋅) найти управление u(⋅), удовлетворяющее условию (2.5), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (2.1), (2.2) удовлетворяло условию (2.4) и доставляло максимум (минимум) функционалу (2.3).

Для доказательства разрешимости Задачи 2.1 нам, прежде всего, потребуется однозначная разрешимость задачи Коши (2.1), (2.2). Для получения этого свойства воспользуемся известным результатом из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть заданы: число T > 0, метризуемый компакт U и непрерывная функция  такие, что для любого существует такое , что справедливо неравенство

       (2.6)

где В есть единичный шар в и существует такая константа что справедливо неравенство

.                        (2.7)

Рассматривается задача Коши

                               (2.8)

                                               (2.9)

где Справедливо следующее утверждение ([1], Lemma 4.1):

Лемма 2.1. При вышеуказанных ограничениях (2.6), (2.7) для любого измеримого отображения задача (2.8), (2.9) имеет единственное решение , удовлетворяющее оценке

                                (2.10)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть функция а(∙) непрерывна на отрезке , U есть компакт в , функция f непрерывна, для любого   существует такое, что справедливо неравенство

        (2.11)

и существует такая константа что справедливо неравенство

.                         (2.12)

Тогда для любого измеримого отображения задача Коши (2.1), (2.2) имеет единственное решение удовлетворяющее оценке

                                                (2.13)