Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 3 )

Аналогичным образом устанавливается справедливость условий Леммы 2.5 и в более общих случаях, когда границы множеств допустимых значений управления и состояния являются непрерывными функциями времени.

Для сведения уравнения (2.1) к виду (2.8) достаточно определить Тогда фигурирующее в условиях Леммы 2.2 множество определяется следующим образом

                                (2.15)

Обозначим через Vа множество допустимых пар «состояние – управление» рассматриваемой системы (2.1), (2.2) при заданной известной функции а, т. е. таких пар вектор-функций которые удовлетворяют соотношениям (2.1), (2.2), (2.4), (2.5). Из Леммы 2.3 непосредственно следует следующее утверждение.

Теорема 2.6. Пусть функция а(⋅) непрерывна на отрезке , U ‑ компакт в Rq, функция f непрерывна в X Ч U Ч A и для любого с ≥ 0 существует такое у ≥ 0, что справедливо неравенство

, ,                         (2.16)

и существует такая константа з ≥ 0, что справедливо неравенство

  ,  ,  .                         (2.17)

Пусть X – компакт, функция F непрерывна на [0,T] Ч X. Пусть, кроме того, отображения t → X(t), t → U(t) являются непрерывными для t ∈ [0,T] в следующем смысле: если справедливы включения xk ∈ X(tk), uk ∈ U(tk), где tk ∈ [0,T], k = 1, 2,… и имеет место сходимость последовательностей  tk → t, xk → x, uk → u, то справедливы включения x ∈ X(t), u ∈ U(t). Тогда, в случае непустоты множества Va и выпуклости множества Гt, x для всех t ∈ [0,T], x ∈ X(t) Задача 2.1 имеет решение в классе измеримых функций.

2.1.2 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования непрерывной динамической системы

Рассматривается непрерывная управляемая система (2.1), (2.2). Управление и здесь выбирается из семейства заданных законов регулирования:

.                                (2.18)

Здесь – известная вектор-функция своих аргументов; – вектор управляющих параметров. На управляющие параметры налагаются ограничения вида

                                                       (2.19)

где V – некоторое подмножество пространства . Кроме того предполагается, что управляющие параметры должны быть такими, чтобы соответствующий закон регулирования (2.18) удовлетворял условию (2.5), т. е. выполнялось бы включение

                                       (2.20)

где – заданное множество. Имеются фазовые ограничения на систему:

                                       (2.21)

где – заданное множество.

Рассмотрим критерии оптимальности

                               (2.22)

где – решение задачи Коши (2.1), (2.2) при заданных функции а(·) и управлении , т. е. для выбранного j-го закона регулирования (2.26).

Рассмотрим следующую вспомогательную экстремальную задачу:

Задача 2.3*. При заданной функции а(·) для каждого из r законов регулирования найти такой вектор управляющих параметров v, чтобы соответствующее ему решение задачи (2.1), (2.2) с законом регулирования , определяемым по формуле (2.18), удовлетворяло условиям (2.19) - (2.21) и доставляло максимум функционалу (2.22).

Сформулируем следующую задачу вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования для неавтономной непрерывной системы.

Задача 2.3. При известной функции а(·) среди всех оптимальных законов регулирования в смысле Задачи 2.3* выбрать тот, который соответствует максимальному значению критерия оптимальности (2.22).

Подставив в уравнение (2.1) значение управления из формулы (2.18), получим

                               (2.23)

где для краткости мы опускаем индекс j при обозначении функции состояния системы, соответствующей данному закону регулирования. Обозначим через множество допустимых пар «состояние – управляющий параметр» рассматриваемой системы, т. е. таких пар , которые удовлетворяют равенствам (2.23), (2.2), а также включениям
(2.19) - (2.21). Таким образом, Задача 2.3* сводится к максимизации функционала
на множестве .

Установим сначала разрешимость задачи Коши (2.23), (2.2). Из Леммы 2.1 непосредственно следует следующая теорема.

Теорема 2.7. Предположим, что функция а(·) непрерывна на отрезке , множества U и V компактны, функции f и непрерывны, для любого сМесто для формулы. ≥ 0  существуют такие у ≥ 0, ч ≥ 0, что справедливы неравенства

(2.24)

                               (2.25)

и существует такая константа з ≥ 0 что справедливо неравенство

.                        (2.26)

Тогда для любого задача (2.23), (2.2) имеет единственное решение
, удовлетворяющее оценке

                                       (2.27)

Установим разрешимость Задачи 2.3*. Справедлива следующая теорема:

Теорема 2.8. Предположим, что при выполнении условий теоремы 2.7 для заданной функции а(·) и заданного значения множество не пусто, множества V, U, X компактны, множества компактны для всех , а функция F непрерывна. Тогда Задача 2.3* имеет решение.