Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 7 )

где и есть решения задачи (2.54), (2.55) при управлениях и соответственно. Тогда справедливо соотношение

,

где есть константа Липшица функции . Повторяя аналогичные рассуждения и учитывая, что, в силу условия (2.55), будем иметь

где при .

Обозначив через максимальную из констант Липшица функций , для получаем оценку

.

Вычислив математические ожидания от обеих частей этого неравенства, получим неравенство

.

Отсюда следует, что и сходимость рассматриваемой последовательности . Отсюда в силу (2.56) следует непрерывность функции .

Ограниченность множества следует из ограниченности множества . Замкнутость множества следует из непрерывности отображения , задаваемого с помощью определения множества и компактности множества (теорема о замкнутости полного прообраза компакта при непрерывном отображении). Теперь существование решения исследуемой задачи вытекает из теоремы Вейерштрасса.

Теорема доказана.

2.1.6. Условия существования решения задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы

В следующей задаче параметрического регулирования дискретной динамической системы вновь рассматривается управляемая дискретная динамическая система с заданным аддитивным шумом, описываемая уравнениями (2.54), (2.55) при наличии фазовых ограничений (2.57). В этой задаче управление выбирается из семейства заданных законов регулирования:

       ,                                (2.59)

где – известная вектор-функция своих аргументов, – вектор параметров закона регулирования .

На настраиваемые коэффициенты налагаются ограничения

                                                               (2.60)

где – компактное пространства . Кроме того предполагается, что параметры закона управления должны быть такими, чтобы соответствующий закон регулирования (2.59) удовлетворял условию (2.58), т. е. выполнялось бы включение

       .                                (2.61)

Здесь – решение задачи (2.54), (2.55) при выбранных значениях коэффициента , неуправляемого параметра и j-ом законе параметрического регулирования.

Рассматриваются критерии оптимальности

                                       (2.62)

Сформулируем следующую вариационную задачу, называемую задачей вариационного исчисления по выбору оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы.