Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 4 )

Доказательство. Из условия (2.21) и непрерывности функции F следует, что эта функция  ограничена. Тогда в силу непустоты множества существует верхняя грань supK функции K на множестве допустимых пар рассматриваемой системы. Тогда существует такая последовательность элементов множества , что имеет место сходимость (здесь )

                                               (2.28)

Включение предполагает справедливость следующих соотношений

                       (2.29)

                                                       (2.30)

                                               (2.31)

                                                               (2.32)

                                       (2.33)

Из Теоремы 2.7 следует оценка

                               (2.34)

Тогда, пользуясь теоремой Больцано – Вейерштрасса с учетом ограниченности множества V, после выделения подпоследовательности получаем сходимости

                                       (2.35)

                                                       (2.36)

В силу замкнутости множества V и условия (2.32) предельное значение v удовлетворяет включению (2.19). Пользуясь условиями (2.35), (2.36) и непрерывностью функции , получим сходимость

                               (2.37)

Тогда из условия (2.33) в силу замкнутости множества следует справедливость включения (2.20). Из условий (2.35) и (2.37) в силу непрерывности функции f имеем сходимость

                       (2.38)

Функция удовлетворяет интегральному соотношению

                       (2.39)

Переходя здесь к пределу с учетом условий (2.35), (2.38), получим равенство

                               (2.40)

Дифференцируя обе части равенства (2.40) по t, установим справедливость уравнения (2.1). В результате, переходя к пределу в равенстве (2.30) с учетом условия (2.35), установим справедливость начального условия (2.2), Таким образом, предельная пара является допустимой.

В силу непрерывности функции F из условия (2.35) следует сходимость

,                                (2.41)

а значит,

                               (2.42)

Из (2.42) и (2.28) следует равенство Таким образом, нашлась пара для которой достигается верхняя грань функционала K на множестве всех допустимых пар рассматриваемой системы. Теорема доказана.

Очевидно, что Задача 2.3 сводится к поиску максимума функции
на конечном множестве при заданной функции а(·). В правой части предшествующего равенства стоит максимальное значение рассматриваемого функционала при данной функции а(·) и j-м законе регулирования. Существование этого значения доказано в теореме 2.8. Поскольку максимум функции на конечном множестве достигается всегда, получаем следующее утверждение.

Теорема 2.9. При выполнении условий Теоремы 2.8 Задача 2.3 имеет решение.

2.1.3 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной динамической системы

Рассмотрим дискретную неавтономную управляемую систему

,                                (2.43)

,                                                (2.44)

где t – время. Здесь – вектор-функция состояния системы дискретного аргумента; – управление, вектор-функция дискретного аргумента; – известная вектор-функция дискретного аргумента; – начальное состояние системы, известный вектор; f – известная вектор-функция своих аргументов.

Задача выбора оптимальных значений экономических инструментов заключается в нахождении экстремума следующего критерия

,                                (2.45)

где F – известная функция, при фазовых ограничениях на решения системы (2.43) - (2.44) вида

,                                                (2.46)

где X(t) заданное множество, и следующих при ограничениях на управление:

,                                        (2.47)

где U(t) – заданное множество.

Сформулируем задачу вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для дискретной динамической системы.

Задача 2.4. При известной функции a(⋅) найти управление u(⋅), удовлетворяющее условию (2.47), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (2.43), (2.44) удовлетворяло условию (2.46) и доставляло максимум (минимум) функционалу (2.45).

Обозначим через Va множество допустимых пар «состояние – управление» рассматриваемой системы при заданной известной функции a(⋅), т. е. таких пар вектор-функций (x, u), которые удовлетворяют соотношениям (2.43), (2.44), (2.46), (2.47). Введем обозначения: , .