Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 12 )

Полученные результаты будут использоваться в следующем разделе при доказательстве существования соответствующих точек бифуркации экстремалей вариационных задач.

2.3 Достаточные условия существования точек бифуркации экстремалей задач по выбору оптимальных законов параметрического регулирования

Введем понятие точки бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования. Наличие такой точки бифуркации для некоторой неуправляемой функции а(·) означает, что в ее окрестности для рассматриваемой задачи происходит переход от одного оптимального закона параметрического регулирования к другому.

Рассмотрим абстрактную задачу вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования, обобщающую задачи 2.3, 2.5, 2.7.

Даны: множество неуправляемых функций (или параметров) А, семейство множеств допустимых управлений (значений настраиваемых коэффициентов) , и семейство функционалов (критериев оптимальности) где . Дадим определение точки бифуркации экстремалей для семейства задач максимизации заданных функционалов на соответствующих множествах допустимых управлений, т. е. абстрактной задачи вариационного исчисления по выбору в среде заданного конечного набора алгоритмов оптимальных законов параметрического регулирования.

Определение. Значение назовем точкой бифуркации экстремалей для задачи максимизации отображений на множествах , если существуют два различных номера   таких, что справедливо соотношение

причем в любой окрестности точки а найдется такая точка для которой величина

достигается для единственного значения k.

Теорема 2.24. Предположим, что при выполнении условий теорем 2.17 (или 2.20, или 2.23), А есть связное множество, и существуют два различных значения , таких, что максимальные значения по максимумов функций на множествах достигаются для различных значений то есть справедливы неравенства:

Тогда существует точка бифуркации экстремалей задачи 2.3 (или 2.5, или 2.7) по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования.

Доказательство. В силу связности множества А точки можно соединить непрерывной линией ,, лежащей в множестве А, причем справедливы равенства

Обозначим

Из теорем 2.17 (или 2.20, или 2.23) следует непрерывность функций на отрезке , а значит, и непрерывность на этом отрезке функции , где
.

Определим множество

Оно является замкнутым, будучи полным прообразом замкнутого множества, состоящего из единственной точки (нуля) для непрерывной функции где Таким образом, отрезок представим в виде следующего объединения

состоящего, согласно условиям теоремы, как минимум, из двух непустых замкнутых множеств.

Из условий теоремы следуют также соотношения:

Тогда множество граничных точек множества находящихся на интервале (0,1), не пусто. Следовательно, существует нижняя грань s0 таких граничных точек. Это значение является также граничной точкой некоторого другого множества и принадлежит ему. Таким образом, при максимум по величины достигается, как минимум, для двух различных номеров и . В то же время при этот максимум достигается для единственного значения . Таким образом, a(s0) действительно соответствует искомой точкой бифуркации. Теорема доказана.

Следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы 2.24.

Следствие 2.25. Предположим, что при выполнении условий теорем 2.17 (или 2.20, или 2.23), А есть связное множество, и при значении регулирование с помощью закона дает решение задачи 2.3 (или 2.5, или 2.7), а при , ( регулирование с помощью этого закона не дает решение рассматриваемой задачи, то есть справедливы неравенства

Тогда имеется хотя бы одна точка бифуркации экстремалей указанной задачи 2.3 (или 2.5, или 2.7).

В завершение приведем описание численного алгоритма нахождения бифуркационного значения функции (или параметра) a одной из задач 2.3 или 2.5 или 2.7 по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) законов параметрического регулирования и при выполнении условий теоремы 2.24.

Соединим точки и гладкой кривой . Разобьем эту кривую на равновеликих частей с достаточно малым шагом. Для полученных значений (точек) определяются номера законов параметрического  регулирования - доставляющих решение задачи 2.3 или 2.5 или 2.7 при значении . Затем находится первое значение i, при котором соответствующий номер закона отличается от . В этом случае бифуркационное значение лежит на дуге кривой .

Для найденного участка кривой алгоритм определения точки бифуркации с заданной точностью состоит в применении метода половинного деления. В результате находится точка , с одной стороны от которой на этой дуге в пределах отклонения от значения оптимальным законом является , а с другой - в пределах отклонения от значения этот закон оптимальным не является. Из следствия 2.25 следует, что точка бифуркации экстремалей решаемой задачи лежит на указанной дуге, и в качестве ее оценки можно принять любую точку дуги .

References

Ekeland I., Temam R. Convex analysis and variational problems. Amsterdam: Nord-Holland publishing company, 1976.