Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 5 )

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.10. Предположим, что при известной функции множество Va не пусто; множества X(t) и U(t – 1) замкнуты и ограничены для всехt = 1, …, n; отображение f непрерывно по первым двум аргументам на множествеX Ч U, а функция F непрерывна по второму аргументу на множестве X. Тогда Задача 2.4 имеет решение.

Доказательство этой теоремы основано на свойствах функций непрерывных на компакте.

2.1.4 Условия существования решения задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования дискретной динамической системы

Рассмотрим дискретную неавтономную управляемую систему (2.43), (2.44). На эту систему наложены фазовые ограничения:

                                               (2.48)

где X(t) – заданное множество. Входящее в уравнение (2.43) управление и выбирается из семейства заданных законов регулирования:

,                                (2.49)

где – известная вектор-функция своих аргументов, – вектор управляющих параметров. На управляющие параметры налагаются следующие ограничения

                                                       (2.50)

где V – некоторое подмножество пространства . Кроме того, будем предполагать, что управляющие параметры должны быть такими, чтобы соответствующий закон регулирования (2.49) удовлетворял условию

                               (2.51)

где – заданное множество.

Рассмотрим следующие критерии оптимальности:

                               (2.52)

где – решение задачи (2.43), (2.44) при заданной функции а(·) и управлении , т. е. для выбранного j-го закона регулирования.

Сформулируем вначале следующую вспомогательную экстремальную задачу:

Задача 2.5*. При известной функции а(·) для каждого из r законов регулирования найти такой вектор управляющих параметров v, чтобы соответствующее ему решение задачи (2.43), (2.44) с законом регулирования , определяемым по формуле (2.49), удовлетворяло условиям (2.48), (2.50), (2.51) и доставляло максимум функционалу (2.52).

Следующая задача называется задачей вариационного исчисления по выбору в среде заданного конечного набора алгоритмов оптимальных законов параметрического регулирования для дискретной неавтономной системы.

Задача 2.5. При известной функции а(·) среди всех оптимальных законов регулирования в смысле Задачи 2.5* найти тот, который соответствует максимальному значению критерия оптимальности (2.52).

Установим сначала разрешимость Задачи 2.5* для фиксированного закона регулирования. Подставив в уравнение (2.43) значение управления из формулы (2.49), получим

                               (2.53)

где для краткости мы опускаем индекс j при обозначении функции состояния системы, соответствующей j-му закону регулирования. Обозначим через множество допустимых пар «состояние – управляющий параметр» рассматриваемой системы, т. е. таких пар , которые удовлетворяют равенствам (2.44), (2.53), а также включениям (2.48), (2.49), (2.50). Таким образом, Задача 2.5* сводится к максимизации функционала
на множестве . Пусть множества Х и U определены с помощью соотношений , . Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.11. Пусть при известной функции а(·) и j-м законе регулирования  множество не пусто, множества V, и замкнуты и ограничены для всех , функция f непрерывна по первым двум аргументам на множестве функция непрерывна на множестве а функция F непрерывна по второму аргументу на множестве Х. Тогда Задача 2.5* имеет решение.

Доказательство этой теоремы основано на свойстве непрерывной на компакте функции достигать своих наибольшего и наименьшего значений. Поскольку на конечном множестве максимум функции достигается всегда, получаем следующее утверждение.

Теорема 2.12. При выполнении условий Теоремы 2.11 Задача 2.5 имеет решение.

2.1.5. Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы

Рассмотрим дискретную стохастическую управляемую систему вида

,        ,                        (2.54)

                                                                       (2.55)

Здесь – функция состояния системы (2.54), (2.55), случайная вектор-функция дискретного аргумента (векторный случайный процесс); – начальное состояние системы, детерминированный вектор; – вектор управляемых параметров, вектор-функция дискретного аргумента; – вектор неуправляемых параметров, – заданное множество. – известный векторный случайный процесс, выражающий помехи (в качестве такового может выступать, например, гауссовский шум); – известная вектор-функция своих аргументов.