Согнуть ребра  несколько раз в обе стороны. Если ребро отмечено (+), то грани сгибать  на себя от листа. Если оно отмечено (-)- то сгибать их надо от себя. В результате С2 и D2 должны оказаться «в глубине» многогранника.

  Вскоре было обнаружено интересное свойство всех полученных изгибаемых многогранников: в процессе изгибания у них не меняется объем. Итак, перед математиками встала новая проблема: верно ли свойство для любых изгибаемых многогранников?  Её назвали «проблемой кузнечных мехов» «Если объем меняется, то из фигуры выходит воздух). Эту проблему с блеском решил московский  математик , который доказал, что свойство постоянного объема характерно  для любых изгибаемых многогранников. В процессе доказательства он получил формулу объема многогранника, которую можно назвать обобщением формулы Герона.

  Любая решенная проблема в геометрии порождает ряд новых. Что будет дальше, мы не знаем. Быть может, сейчас седой ученый завершает доказательство очередной удивительной теоремы о свойствах изгибаемых многогранников. А может быть, это будет кто - то из вас.

Нам не дано предугадать,

  Как слово наше отзовется….

Список использованной литературы

Журнал «Математика в школе», Москва, № 6 2002 год

       Статья «Линии второго порядка»,

http://festival.1september. ru , и др. Геометрия: Дополнительные главы к  школьному учебнику 8 класса; учебное пособие для учащихся школ и  классов с углубленным изучением математики. - М.: «Просвещение», 1996 Задачи и упражнения по аналитической геометрии.  М.: «Наука», 1970 г. Сборник задач по аналитической и линейной алгебре. М.: «Наука», 1987 г. , Математические встречи. Часть 1. - Смоленск: СГПИ, 1994 анимательные задачи на разрезание. - М.: Мир, 1977 Геометрия. 7-9 классы. - М.: Просвещение, 2002 Ч. I. Геометрия в 2-х частях. М.: «Просвещение», 1986 г. 520 головоломок. - М.: Мир, 1975 , Задачи на разрезание. – М.: МЦИМО, 2002 Аналитическая геометрия. Саратов, 2000 г. www. ms-outlook. ru Геометрия. 7-9 классы. - М.: Дрофа, 1977 , Аналитическая геометрия, М.: «Наука», 1988 г , Новые задачи по стереометрии, М.: «Владос», 2000 г Энциклопедический словарь юного математика, М.: Педагогика, 1989 г

Приложение 1. Материалы для организации

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

индивидуальной работы учащихся

1. Найти уравнение множества центров сечений гиперболоида 

х2 + 2у2 - 3z2= 2 плоскостями, параллельными плоскости  х + у + z= 1.

2. Доказать, что если поверхность второго порядка имеет центр симметрии и он расположен в начале координат, то уравнение поверхности не содержит линейных членов.

Решение.

Допустим, что данная поверхность - эллипсоид. В канонической системе координат уравнение эллипсоида линейных членов не содержит. Любая другая система координат  с началом  в центре  симметрии эллипсоида отличается от канонической лишь базисом. Формулы замены базиса однородные, и при такой замене совокупность членов второй степени переходит в совокупность членов второй степени; линейные члены не могут «возникнуть» или «исчезнуть». Для остальных типов поверхностей доказательство аналогичное. Отметим, что если у поверхности бесконечно много центров симметрии, то каждый из них можно принять за начало канонической системы координат.

3. Доказать, что если уравнение поверхности второго порядка не содержит линейных членов, то поверхность имеет центр симметрии в начале координат.

4. Доказать, что касательные плоскости, проведенные к поверхности второго порядка в концах одного и того же диаметра, параллельны между собой, и, обратно, если две касательные плоскости одной и той же поверхности параллельны между собой, то точки прикосновения лежат на одном диаметре.


Установить, что плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу; найти его полуоси и вершины. Установить, что плоскость пересекает гиперболический  параболоид по параболе; найти ее параметр и вершину. Найти уравнения проекций сечения эллиптического параболоида плоскостью на координатные плоскости. Установить, какая линия является сечением эллипсоида плоскостью , и найти ее центр. Установить, при каких значениях m плоскость пересекает эллиптический параболоид : а). По эллипсу; б). По параболе. Доказать, что однополостный гиперболоид имеет одну общую точку с плоскостью , и найти ее координаты Определить, при каком значении m плоскость касается эллипсоида . Провести касательные плоскости к эллипсоиду параллельно плоскости ; вычислить расстояние между найденными плоскостями. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса , x=0 вокруг оси Oy. Доказать, что двуполостный гиперболоид, определяемый  уравнением , может быть получен в результате вращения гиперболы , у=0 вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz

Вариант I.

Объёмы тел вращения.  Тест.

Отрезок АВ, концы которого лежат на разных окружностях оснований цилиндра, пересекает ось цилиндра под углом 30є. Найдите объем цилиндра, если длина отрезка АВ равна 4√3 см.

а) 12 р см3;  б) 12√3 р см3;  в) 18р см3;  г) 16√3 р см3.

Объем цилиндра равен 63 р см3, а площадь осевого сечения 18 см2. Найдите радиус основания цилиндра.

а) 8 см;  б) 6√3  см;  в) 9 см;  г) 7  см.

Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду АВ основания, образует с высотой конуса угол 30є и удалена от центра  основания на 3 дм. Найдите объем конуса, если длина хорды АВ равна 2 дм.

а) 24 р дм3;  б) 15√3 р дм3;  в) 26р дм3;  г) 18√3 р.

Объём конуса равен 9√3р см3. Найдите высоту конуса, если его осевое сечение - равносторонний треугольник.

а) 3 см;  б) 3√3  см;  в) √3 см;  г) 6√3  см.

На поверхности шара даны три точки: А, В и С такие, что АВ= 8 см, ВС= 15 см, АС= 17 см. Центр шара - точка О находится на расстоянии √35/2 см от плоскости, проходящей через точки А, В и С. Найдите объём шара.

а) 972 р см3;  б) 840 р см3;  в) 864 р см3;  г) 936 р см3.

Ответы.

1-в,  2-г,  3-в,  4-б,  5-а


Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10