Домашнее задание.  Найти уравнение множества центров сечений  гиперболоида  х2 + 2у2 - 3z2= 2 плоскостями, параллельными плоскости  х + у + z= 1.



3.8 Занятие 13-14 «Параболоиды» “Тела и фигуры вращения” 

Вопросы к кроссворду – 1

По горизонтали. 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

По вертикали. 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

Вопросы к кроссворду – 2

По горизонтали. 1. Фигура, полученная вращением параболы вокруг её оси. 2. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой. 3. Круг, являющийся элементом конуса, плоскость которого перпендикулярна оси конуса. 4. Музыкальный инструмент, часть которого напоминает Псевдосферу Лобачевского. 5. Отрезок, соединяющий две точки окружности.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

По вертикали. 1. Фигура, полученная вращением гиперболы вокруг её оси. 2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 3. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его. 4. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 5. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 6. Тело вращения, принцип движения которого описала великая русская женщина-математик. 7. Фигура, полученная вращением эллипса вокруг её оси.

Ответы к кроссворду - 1.

По горизонтали. 1. Круг. 2. Образующая. 3. Цилиндр. 4. Прямой. 5. тор.

По вертикали. 1. Конус. 2. Трапеция. 3. Купол. 4. Диаметр. 5. Шар. 6. Сфера. 7. Юла.

Ответы к кроссворду - 2.

По горизонтали. 1. Параболоид. 2. Радиус. 3. Основание. 4. Труба. 5. Хорда.

По вертикали. 1. Гиперболоид. 2. Высота. 3. Тор. 4. Шар. 5. Сфера. 6. Юла. 7. Эллипсоид.

  Различают  эллиптические  и гиперболические параболоиды.

Эллиптическим параболоидом  называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной  системе координат  определяется  уравнением

 

это уравнение  называется  каноническим  уравнением  эллиптического  параболоида. 

Так как  х и у входят в уравнение (24) в четных степенях, то эллиптический  параболоид  симметричен  относительно  плоскостей Oxz, Oyz и относительно оси Oz (ось поверхности). Эта поверхность не симметрична относительно  плоскости Оху, относительно осей Ох, Оху и начала координат.

Точка  пересечения  эллиптического параболоида с его осью называется  вершиной. Если поверхность задана каноническим уравнением (24), то начало  координат выбрано в вершине поверхности.

Из уравнения (24) заключаем, что для всех точек эллиптического параболоида выполняется соотношение z≥0, причем z=0 выполняется только для вершины. Следовательно, все  точки  эллиптического параболоида (24), кроме его вершины, расположены по одну сторону от плоскости Оху.

Изучим форму эллиптического параболоида методом сечений.  Если поверхность, заданную в прямоугольной системе координат Oijk  уравнением (24), пересечь плоскостью z=h, то проекция сечения на плоскость Оху в системе координат Oij имеет уравнение (24)

Эллиптический параболоид изображен на рисунке 9.

Рис. 9

2. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Это уравнением называется каноническим уравнением гиперболического параболоида. 

Как и в случае эллиптического параболоида, гиперболический параболоид (25) симметричен относительно плоскостей Oxz, Oyz и относительно оси Oz (ось поверхности). Эта поверхность не симметрична относительно плоскости Оху, осей Ох, Оху и начала координат.

Точка пересечения гиперболического параболоида с его осью называется вершиной. Если поверхность задана каноническим уравнением  (25), то начало координат выбрано в вершине этой поверхности.

Изучим форму гиперболического параболоида методом сечений.  Если поверхность, заданную в прямоугольной системе координат Oijk  уравнением (25), пересечь плоскостью z=h, то проекция сечения на плоскость Оху в системе координат Oij имеет уравнение

Здесь возможны три случая.

1. h> 0. Линия (26) является гиперболой с вещественной осью Ох. Следовательно, и равная ей линия пересечения поверхности (3) с плоскостью z=h, h>0, является гиперболой, вещественная ось которой параллельна оси Ох.

2. h=0.  Плоскость z=0 пересекает  поверхность (25) по паре прямых:

 

  пересекающихся в вершине поверхности.

3. h< 0. Как и в случае 1, находим, что сечением поверхности (25) плоскостью z=h является гипербола, но здесь действительная ось гиперболы параллельна оси Оу.

  Гиперболический параболоид изображен на рисунке 10.

Рис.10

Задачи.

На параболоиде –  =z. Найти прямоугольные образующие, параллельные плоскости 3х +2у – 4z=0. Исследовать, как расположены ( в координатных плоскостях) по отношению к главным сечениям проекции прямолинейных образующих гиперболического параболоида  .

3.9  Занятие 15-16 «Линии второго порядка и графики  иррациональных функций»

Так как линии второго порядка являются сечениями поверхностей второго порядка различными плоскостями, то нам представляется целесообразно рассмотреть некоторые свойства линий второго порядка.

  Линии второго порядка - плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0.  (1)

Уравнение (1) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую линию второго порядка.  В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (1) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,

нераспадающиеся линии:

y2 = 2px — параболы,

распадающиеся линии:

— пары пересекающихся прямых,

— пары мнимых пересекающихся прямых,

x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых,

x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

Исследование вида линии второго порядка может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов линий второго порядка — выражений, составленных из коэффициентов уравнения (1), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:

S = a11 + a22, (aij = aji).

Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Д ≠ 0; положительное значение инварианта д выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол д < 0, для парабол д = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов Д и S: если Д и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если Д и S одного знака.

Три основные инварианта Д, д и S определяют линии второго порядка (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Д, д и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10