Изучим форму эллипсоида методом сечений.  Если эллипсоид, заданный уравнением (1) в прямоугольной системе координат Oijk, пересечь плоскостью z= h, то  проекция сечения на плоскость Оху в системе координат Oij имеет уравнение 

  Возможны следующие три случая.

< c. В этом случае в сечении мы получим эллипс, центр которого лежит на оси Oz. = c. Уравнение (15)  принимает  вид  :

 

Кривая на плоскости Оху представляет собой две мнимые прямые, пересекающиеся в вещественной точке (0, 0). плоскость z= h имеет с эллипсоидом лишь одну общую точку - вершину эллипсоида.

> c. Уравнение (15) есть уравнение мнимого эллипса. Плоскость z= h не имеет с эллипсоидом общих точек. 

Аналогично можно показать, что сечение эллипсоида (1) плоскостью  x= h или y= h является эллипсом, вершиной эллипсоида или пустым множеством.

Мы получили достаточно полное представление о форме эллипсоида. Поверхность изображена на рисунке 6.

Рис. 6

Если две полуоси эллипсоида равны, например a=b, то он называется эллипсоидом вращения и имеет каноническое уравнение:

Поверхность, определяемая уравнением (17), действительно образована вращением эллипса: 

лежащего в плоскости Oxz вокруг оси Oz.

Если все  три  оси эллипсоида равны: a= b= c, то он представляет собой сферу:  x2 + y2 + z2 = a2.

Следовательно, сфера есть частный случай эллипсоида.

Задача 1. Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида  х2 + 2у2 + 3z2= 4 плоскостями, параллельными плоскости  х + у + z= 1.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Решение.

Изложим один из способов решения задачи. Сначала составляем уравнения проекции на плоскость Оуz сечения данного эллипсоида плоскостью 

х + у +z= h и находим центр полученной линии второго порядка. Искомый центр сечения имеет те же координаты у0, z0, что и центр проекции; при найденных  у0, z0 координату х0 центра сечения легко определить из уравнения плоскости. Принимая h за параметр, таким образом находим искомое множество точек.

Выполним намеченную программу. Уравнение проекции на плоскость Оуz получим, исключая х из уравнений  х2 + 2у2 + 3z2= 4 и  х + у + z= h. Получаем  3y2 +4z2 +2yz -2hy -2hz +h2 -4=0.

Составляем уравнения для определения центра этой кривой

6y +2z -2h=0,  8z +2y -2h=0.Отсюда у0= 3h/11, z0= 2h/11.

Подставляя эти числа  в уравнение плоскости  х + у + z= h получим х0= 6h/11. Итак, х0= 6h/11, y0=3h/11, z0=2h/11. Обозначив h= 11t, получим х= 6t, y=3t, z=2t - уравнения линии центров. Однако искомому множеству принадлежат не все точки прямой, а лишь лежащие внутри эллипсоида. 

Вычисляя значения параметра t= ± , соответствующие точкам пересечения прямой и эллипсоида, находим ограничения на t.

  Ответ: x= 6t, y=3t, z= 2t, t≤

Домашнее задание. Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида  2х2 + у2 - 4z2= 4 плоскостями, параллельными плоскости  х + 2у - z= 1.

3.7  Занятие 11-12 «Гиперболоиды»

Различают однополостные и двуполосные гиперболоиды.

1.Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением 

Это уравнение называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Так как в уравнении (1) х, у и z входят  в четных степенях, то поверхность симметрична относительно плоскостей координат, осей координат (оси поверхности) и начала координат (центр поверхности). Две оси Ох  и Оу  пересекают поверхность  в точках  А1(а, 0, 0),  А2 (-а, 0, 0),  В1 (0, b, 0),  В2 (0, - b, 0).  эти оси называются действительными осями однополостного гиперболоида, а указанные точки - его вершинами. Третья ось симметрии ( ось Oz) не имеет общих точек с однополостным гиперболоидом и называется  его  мнимой осью. Положительные числа a, b и с называются полуосями однополостного гиперболоида.

  Пусть однополостный гиперболоид в прямоугольной  системе  координат Oijk  определяется уравнением (1). Изучим  форму поверхности методом сечений. Если  поверхность пересечь плоскостью z= h, то проекция сечения на плоскость Оху  в  системе  координат  Oij  имеет уравнение 

  Здесь рассмотрим три случая. 

< а. В этом случае  1 – h2/a2  >0, уравнение  (19)  определяет гиперболу с мнимой осью Oz. В сечении получим равную ей гиперболу с мнимой осью, параллельной оси  Oz. = а. Уравнение (19) принимает вид:

Уравнение (20)  определяет пару прямых,  пересекающихся в начале  координат. Поэтому каждая  из плоскостей  х=а, х=-а  пересекает поверхность (1)  по паре  прямых, пересекающихся  на оси Ох.

3. > а. В этом случае  1- h2/a2 <0, уравнение (19) определяет гиперболу с мнимой осью Оу. В сечении имеем равную ей гиперболу с мнимой  осью, параллельной оси Оу.

Аналогичный результат мы получим  и при  пересечении поверхности  плоскостью y=h.

  Однополостный гиперболоид изображен на рисунке 7. 

Рис.7.

  Любой  однополостный гиперболоид можно получить  из  некоторого  однопо­лостного  гиперболоида вращения с помощью  сжатия  к плоскости, проходящей  через  ось  вращения.

2. Двуполостным гиперболоидом называется  поверхность, которая  в некоторой  прямоугольной  системе координат  определяется  уравнением: 

Уравнение (21)  называется каноническим уравнением  двуполостного  гиперболоида.

Из уравнения  (21)  следует, что поверхность  симметрична  относительно  плоскостей  координат, осей  координат  (оси поверхности) и начала  координат (центр  поверхности). Ось Oz пересекает  поверхность в двух точках  С1 (0,  0,  с)  и С2 (0,  0,  - с), называемых  вершинами  двуполостного  гиперболоида; сама эта прямая  называется  вещественной осью. Оси  симметрии Ох  и Оу  не имеют с  поверхностью  (21)  общих точек и называются  мнимыми осями  этой  поверхности. Положительные числа a, b и с называются  полуосями  двуполостного гиперболоида.

Исследование  вопроса  о пересечении поверхности (21)  с прямыми, проходящими через  ее центр, в точности совпадает с исследованием  этого вопроса, проведенным  выше для однополостного гиперболоида. Здесь получим, что множество асимптот поверхности (21)  образует конус 

с вершинами  в центре  поверхности - асимптотический конус этой поверхности.

Двуполостный  гиперболоид изображен на рисунке 8. 

Рис. 8

Если в уравнении (22)  a= b, то получим уравнение поверхности:

которая называется  двуполостным гиперболоидом вращения. Заметим, что эта поверхность образована вращением гиперболы  х2/ a2  - z2  /c2= -1  вокруг  оси Oz (вокруг действительной оси этой гиперболы).

Любой двуполостный гиперболоид можно получить из некоторого  двуполостного гиперболоида вращения с помощью сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения.

Задачи.

Найти центр сечения гиперболоида х2 + 2у2 – 4z2= -4  плоскостью  х + у + 2z =2.

Решение. 

Найдём уравнение проекции сечения на плоскость Оху, исключив z из данных уравнений. Получим х2 + 2у2 -(2 – х - у)2= -4, или у2 -2ху +4х +4у=0.

Теперь найдём центр полученной линии второго порядка. Уравнения имеют вид -2у +4 =0, 2у -2х +4=0. Находим х0=4, у0=2. Так как искомая точка лежит на данной плоскости, то х0+ у0 + 2z0=2, откуда z0=-2.

Ответ:  С(4,2,-2).

2. Исследовать линию  пересечения гиперболоида +   - z2 =1  с  плоскостью 4х  -3у  -12z -6=0, пользуясь ее проекциями  на  координатные  плоскости.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10