Перед решением самостоятельной работы учащимся предлагается выбрать уровень, на котором каждый будет работать самостоятельно. Для этого учитель поясняет нормы оценок.

  1 уровень – обязательный. При решении задач надо знать основные формулы и не требуется приведения доказательств или сложных теоретических выкладок.

Задачи для первого уровня:

(1 вариант) развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

(2 вариант) развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8 см, а угол между диагоналями – 30°. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

2 уровень для более подготовленных учащихся. Решение требует более полных знаний не только в стереометрии, но и в планиметрии, предусматривает анализ рисунка к задаче.

Задачи для второго уровня:

(1 вариант) плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Высота цилиндра равна 5 см, радиус цилиндра – 2√3 см. Найти площадь сечения.

(2 вариант) сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90°. Радиус цилиндра равен 4 см. Найти площадь сечения.

Поверхность, обладающую тем свойством, что вместе с каждой точкой М она содержит всю прямую, проходящую через М, параллельную данному ненулевому вектору р, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. Прямые, параллельные вектору р и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

  Цилиндрическая поверхность  может  быть образована  следующим образом. Пусть г - некоторая линия, а р - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии г параллельно вектору р, будет цилиндрической. В этом случае линия г называется направляющей этой поверхности (рис. 2).

 

Рис 2. 

Докажем следующую теорему. 

  Теорема. Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат Oijk в плоскости Оху  в системе координат Oij задана линия г своим уравнением

F(x, y) =0.

  Тогда уравнение F(x, y) =0 определяет в пространстве  цилиндрическую поверхность S с направляющей линией г и образующими, параллельными  вектору k.

  Доказательство. Возьмём произвольную точку М( х1, у1, z1) пространства  и рассмотрим прямую с направляющим вектором к, проходящую через эту точку. Эта прямая пересекает плоскость Оху в некоторой точке М1, которая в системе Oijk имеет координаты  (х1, у1, 0). эта же точка М1 на плоскости Оху с системе Oij имеет координаты (х1, у1).

  Если М - точка поверхности S, то прямая ММ1 является образующей поверхности S, поэтому точка М1 лежит на кривой г. Отсюда следует, что координаты (х1, у1) точки М1 удовлетворят уравнению F(x, y) =0 линии г:  F(x1, y1)=0. Полученное равенство  означает, что координаты точки М (x1, y1, z1)  удовлетворяют уравнению F(x, y) =0.

  Если точка М не принадлежит поверхности S, то точка М1 не лежит на кривой г, поэтому её координаты (х1, у1) не удовлетворяют уравнению линии г: F(x1, y1)≠ 0. Полученное неравенство означает, что  координаты точки М (x1, y1, z1)  не удовлетворяют уравнению F(x, y) =0.

  Итак, доказано, что уравнение F(x, y) =0. есть уравнение цилиндрической поверхности с направляющей линией г и образующими, параллельными оси Oz.

  Замечание. Аналогично можно убедиться в том, что если уравнение G( x, z)=0  в плоскости Oxz в системе Oik определяет линию гґ, то это же уравнение в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, для которой линия гґ служит направляющей, а образующие параллельны оси Оу.

  Если уравнение F(x, y) =0 является уравнением второй степени относительно  х и у (т. е. если г - линия второго порядка), то цилиндрическая поверхность  с направляющей г  и образующими, параллельными вектору к, является  цилиндрической поверхностью второго порядка. Этот цилиндр называется эллиптическим, гиперболическим, параболическим в зависимости от того, явяляется ли его направляющая  F(x, y) =0 эллипсом, гиперболой или параболой.

  Если прямоугольную систему  координат Oijk  выбрать так, чтобы образующие цилиндрической поверхности второго порядка были параллельны вектору к, а направляющая г в системе Oij имела каноническре уравнение, то указанные выше цилиндрические поверхности определяются следующими уравнениями:

Виды цилиндрических поверхностей Эллиптический цилиндр 

Гиперболический цилиндр

у2= 2рх-  параболический цилиндр 

Задача 1.Доказать, что прямая, имеющая с прямыми круговым цилиндром более двух общих точек, является прямолинейной образующей этого цилиндра.

Решение.

Зададим данный цилиндр следующим каноническим уравнением:

х2 + у2 = а2  (1).

Пусть прямая d, заданная параметрическими уравнениями

х=х0 + р1t,  y=y0 + p2t,  z= z0 + p3t.  (2) 

Имеет с данным цилиндром более чем две общие точки. Докажем, что d - прямолинейная образующая этого цилиндра.

Чтобы получить те значения t, для которых точка М прямой d лежит и на данном цилиндре, надо выражения  х,  у, z по формулам (2) подставить в уравнение (1):

(p12 + p22) t2 + 2(x0p1 + y0p2)t +(x02 + y02- a2)=0.

Это квадратное уравнение должно иметь более двух корней (так как прямая d пересекает цилиндр (1) более чем в двух точках). Следовательно, его коэффициенты и свободный член равны нулю. Из р12 + р22= 0  заключаем, что р1=р2=0  и потому  прямая d  параллельна оси Oz  или совпадает с ней. Из равенства х02 + у02- а2=0  следует, что точка М0( х0, у0, z0)  прямой d  лежит на поверхности параллельно  её оси, и есть  прямоугольная образующая этой поверхности. [4], [5], [6].

Задачи для самостоятельной работы.

  Вариант I

Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найдите осевое сечение цилиндра. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен ц, площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288р см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Вариант II

Цилиндр радиуса 1 и высоты 0,5 пересекаются плоскостью, параллельной оси цилиндра и удалённой от нее на х. как зависят площадь и периметр сечения от х? Радиус цилиндра r, а высота h. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию и отсекающей от окружности основания дугу в 60°. Высота цилиндра равна 16 см, радиус 10 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и отстоящей от неё на 60 мм.

  Домашнее задание:

Докажите, что плоскость, проходящая через образующую цилиндра, но не  касательная к нему, пересекает цилиндр по прямоугольнику. Сколько существует плоскостей, рассекающих данный цилиндр на два равных цилиндра. [7], [8], [9].

3.5  Занятие 8-9 «Конические поверхности второго порядка»

Канонические уравнения

Разминка.  «Да» и «Нет» не говорите, лучше сразу напишите.

Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? (да) Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?  (нет) Верно ли, что через две прямые можно всегда провести плоскость?  (нет) Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? (нет) Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости б, то и третья сторона параллельна плоскости б? (да) Две стороны параллелограмма параллельны плоскости б. Параллельны ли плоскость б и плоскость параллелограмма? (нет) Верно ли, что плоскости б и в параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости б параллельны плоскости в? (да) Верно ли, что если плоскость содержит данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна  данной прямой? (да) Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой? (да) Боковые стороны трапеции параллельны плоскости б. Параллельны ли плоскость б и плоскость трапеции? (да)

Устная работа.

Приведите примеры предметов, имеющих форму конуса или усеченного конуса. Какой фигурой является ортогональная проекция конуса:

а) на плоскость его основания;  б) на плоскость осевого сечения;  в) на касательную плоскость.

  3.  На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы в сечении цилиндра получился круг, площадь которого в 2 раза меньше площади основания?

  4. Существует ли сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, площадь которого равна осевому сечению?

  5. Какой должна быть высота конуса, осевое сечение которого имеет ту же площадь, что и его основание?

  Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М0 называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой М, отличной от точки М0, эта поверхность содержит прямую М0М.

Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нём, называются образующими этого конуса. Отметим, что из определения конуса вовсе не следует, что он имеет единственную вершину. Например, плоскость является конической поверхностью, каждая точка которой может быть принята в качестве вершины.

Коническую поверхность можно получить следующим образом. Рассмотрим в пространстве линию г и точку М0, не лежащую на линии г. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку М0  и через некоторую точку линии г, является конической поверхностью с вершиной М0.  В этом случае линия г называется направляющей. 

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10