Но для дальнейшего изучения данной темы необходимо обобщить и повторить знания по ранее изученным темам.

Повторение. 

Разминка. Кроссворд.

По горизонтали.

2. Многогранник, составленный из многоугольника и n треугольников (пирамида)

6. Как называется этот многоугольник? (основание)

7. Как называются эти треугольники? (грань)

8. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания? (высота)

10. Учёный, впервые исследовавший свойства правильных многогранников (Платон)

12. Правильный шестигранник (гексаэдр)

13. Направленный отрезок (вектор)

14. Высота многогранника по отношению к его основанию? (перпендикуляр)

По вертикали.

1.Выпуклый многогранник, грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер (правильный)

3. Высота боковой грани правильной пирамиды (апофема)

4. Сколько граней у куба?

5. Что находится в основании призмы? (шесть)

9. Правильный восьмигранник (октаэдр)

11. Правильный четырёхгранник (тетраэдр)

Тест (начальный)

Основание  прямой призмы - треугольник со сторонами 5 см  и 3 см и углом, равным 120є, между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

а) 42 см2;  б) 75см2;  в) 108 см2.


Точка М удалена от каждой вершины квадрата на 10 см. найдите  расстояние от точки М до плоскости квадрата, если его сторона равна 6 см.

  а) 8 см;  б) 9см;  в) 10 см.


Из точки М к плоскости проведены наклонные МА и МВ длиной 10 см и 17 см. найдите расстояние от точки М до плоскости, если длины проекций пропорциональны числам 2 и 5.

а) 6 см;  б) 7см;  в) 8 см.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см, 10 см. каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45є. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

а) 48 см2;  б) 48 см2;  в) 48 см2.


Основанием для прямой призмы является равнобедренная трапеция, длины боковых сторон которой равны по 13 см, основания 11 см и 21 см, площадь диагонального сечения призмы равна 180 см2. Найдите высоту призмы.

а) 16 см;  б) 12см;  в) 9 см.


Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30є. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

а) 48 см2;  б)  48 см2;  в) 72 см2.

Ответы. 1-Б,  2-А,  3-В,  4- В, 5-В,  6-Б.

Объяснение нового материала

Понятие поверхности

Поверхность можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям).

Поверхность определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

Все  поверхности подразделяются на два больших класса: алгебраические и неалгебраические (или трансцендентные). Поверхность S  называется алгебраической, если в какой-нибудь аффинной системе координат её уравнение можно записать в виде (1), в котором  F(x, y, z) – многочлен относительно  x, y, z, т. е. алгебраическая сумма конечного множества членов вида axpygzr, где коэффициент a – действительное число, отличное от нуля, а  p, g  и  r - неотрицательные целые числа. Число  p + g + r называется степенью члена  axpygzr, где а≠0. Степенью многочлена называется наивысшая из степеней его членов.

Порядком алгебраической поверхности называют степень её  уравнения в какой либо аффинной системе координат (т. е. степень  многочлена F(x, y, z) в уравнении F(x, y, z)=0 этой поверхности). Свойство поверхности быть алгебраической, а также порядок не зависят от выбора аффинной системы координат. Все поверхности первого порядка являются плоскостями. Сфера является примером поверхности второго порядка. 

Так, в аффинной системе координат уравнение первой степени

  Ax + By + Cz = 0

есть уравнение  плоскости. В прямоугольной системе координат уравнение

(x-a)2 +(y-b)2 + (z - c)2= r2

есть уравнение сферы с центром С (a, b, с) радиуса r. 

  Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых в какой либо аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy +2a23уz + 2a13xz + 2а14x +2а24у+2а34z+а44 =0  (1)

где  a11 , а22 , a33 , ..., a00 – действительные числа, причём не все коэффициенты при членах второй степени равны нулю.

  Мы не будем исследовать поверхности второго порядка  по общему уравнению (1) , а рассмотрим лишь основные типы поверхностей, используя их простейшие (так называемые канонические) уравнения. При этом для изучения формы поверхности часто будем прибегать к методу сечений.

Метод сечений

Метод сечений  применим  к исследованию любой поверхности, а не только к поверхности второго порядка. При этом оказывается удобно пользоваться прямоугольной системой координат. Сущность метода сечений состоит в следующем.

Пусть поверхность S задана в прямоугольной системе координат уравнением (1). Поверхность S пересекаем плоскостями, параллельными координатным плоскостям (или самими координатными плоскостями), и находим линии пересечения поверхности с этими плоскостями. По виду линий и выносится суждение о форме поверхности S. 

Касательная плоскость в точке поверхности — это плоскость, имеющая максимальный порядок соприкосновения с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая касательные ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.

Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:

.

3.2  Занятие 3-4 «Метод сечений при исследовании вида поверхности»

Исследование  поверхности второго порядка

Пусть уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

               (2)

1. Исследование формы поверхности методом сечений

1) Для того чтобы исследовать поверхность методом сечений, сначала приведем уравнение (2) к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота осей координат.

Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты x, y, z произвольной точки М плоскости в системе координат Oxyz и координаты x’, y’, z’ в новой системе координат O’x’y’z’ связаны соотношениями:

,

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение (2), получим:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида 

       (3)

В уравнении (3) коэффициенты при x,’ y’, z’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно ,

,

которая определяет координаты центра исходной поверхности. Следовательно, , , - решение данной системы и точка – центр данной поверхности. Подставим найденные значения  , в уравнение (3), получим

       .        (4)

  Дальнейшее упрощение уравнения достигается при помощи поворота осей координат на угол α. При повороте осей координат O’Y и O’Zна угол α координаты y’, z’ произвольной точки М плоскости yOz в системе координат O’х’y’z’  и координаты Y, Z  в новой системе координат O’XYZ связаны соотношениями:

       .        (5)

  Подставляя у' и z' из (5) в уравнение поверхности (4) с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов, получим уравнение вида:

       (6)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10