Программа элективного курса по математике «Поверхности второго порядка в евклидовом пространстве» для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений, гимназий, лицеев (стр. 9 )

Существуют классификации линий второго порядка с точки зрения других групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, — группы аффинных преобразований— эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные линии второго порядка считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами линий второго порядка позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии в которой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся линии второго порядка: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс — класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола — в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности линий второго порядка. Именно,

невырождающиеся линии

(x1, x2, x3 — однородные координаты):

x12 + x22 — x32 = 0 — действительный овал,

x12 + x22 + x32 = 0 — мнимый овал,

вырождающиеся линии:

x12 — x22 = 0 — пара действительных прямых,

x12 + x22 = 0 — пара мнимых прямых,

x12 = 0 — пара совпадающих действительных прямых.

Эллипс

  Эмллипс — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 (называемых фокусами) величина постоянная, то есть

| F1M | + | F2M | = 2a.

  Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

    Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.

  Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.

  Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.

  Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.

  Точка пересечения эллипса с осями являются его вершинами.

  Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.

  Расстояние называется фокальным расстоянием.

Гипербола

Гипемрбола — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно, то есть

| | F1M | − | F2M | | = C

Осью гиперболы называется прямая, соединяющая её фокусы. Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы . Расстояние от начала координат до одной из вершин гиперболы называется большой или вещественной полуосью гиперболы . Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы . Отношение фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы называется эксцентриситетом: . Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы. Расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат называется фокальным параметром . В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием . Прицельным параметром называется расстояние от фокуса до одной из асимптот гиперболы. Прицельный параметр равен малой полуоси гиперболы.

Парабола

  Парамбола— геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

.

  Квадратное уравнение при также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке , координаты которой вычисляются по формулам:

  Уравнение может быть представлено в виде , а в случае переноса начала координат в точку каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим.

Свойства

Парабола — кривая второго порядка. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе собирается в её фокусе. Для параболы фокус находится в точке (0,25; 0). Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Парабола является антиподерой прямой. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид

Построение параболы

Параболу можно построить «по точкам» с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и директрисой. На директрисе задаётся произвольная система отсчёта с нужным единичным отрезком. Каждая последующая точка является пересечением серединного перпендикуляра отрезка между фокусом и точкой директрисы, находящейся на кратном единичному отрезку расстоянии от начала отсчёта, и прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси параболы.

3.10 Занятие 17 «Обобщающий  урок - беседа по курсу геометрии»

Решение задачи вошло в легенды и часто служит его визитной карточкой.

Обратим внимание на следующий портрет

  Это портрет Евклида Александрийского. О нем известно очень мало. Вот два эпизода, связанные с его именем. 

  Рассказывают также, что один из учеников Евклида, обессиленный от попыток усвоить «Начала» обратился со слезной молвой к своему скромному, но очень требовательному учителю : «А  что я буду иметь за то, что выучу все это?». Евклид приказал одному из своих рабов : «Дай ему три обола (мелкая монета). Он заслужил их уже тем, что изучает «Начала!». Говорят, что так возникла студенческая стипендия!

  «Начала» построены на пяти постулатах (аксиомах). Пятый из них говорит о том, что через любую точку плоскости проходит одна и только одна прямая, параллельная данной. Многие считали её теоремой и пытались неудачно ее доказать.

  Перейдём к следующему портрету.

  В 1826 г. великий русский математик (1792- 1856 ) поставил точку в проблеме «пятого постулата». Вместо  него он принял допущение, согласно которому в плоскости можно построить по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с a. 

  Нераскрытых тайн. Наглядно же её можно увидеть на поверхности модели, которая называется «псевдосферой».

  Многие ученые полагали, что подобная теорема справедлива и для невыпуклых многогранников. Надо лишь приложить еще немало усилий и …

  Прошло еще полтора века и в 1977 г. американский математик Конелли построил изгибаемый невыпуклый многогранник. Он может менять форму, хотя его грани при этом не изменяются.