Уравнение (11) называется каноническим уравнением конической поверхности второго порядка.
В случае, когда направляющая конической поверхности второго порядка является окружность, т. е. когда а =b, уравнение (11) принимает вид:
Поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат уравнением (12), называется круговой конической поверхностью или круговым конусом.
Рассмотрим сечения круговой конической поверхности различными плоскостями. Возможны три случая.
Плоскость сечения параллельна координатной плоскости Оху или совпадает с ней. В этом случае она имеет уравнение z= h, поэтому проекция сечения на плоскость Оху определяется уравнением х2/а2 + у2/а2= h2/ с2 или х2 + у2 = к2, где r= a |h|/ с. Если h ≠0, то этим уравнением определяется окружность радиуса r с центром в начале координат, а если h =0- начало координат.Таким образом, любая плоскость, параллельная плоскости Оху, пересекает круговой конус по окружности.
Плоскость сечения у0 проходит через вершину конуса и образует с плоскостью Оху угол Я, где 0 < Я ≤ р/2. Очевидно, что возможны три случая:а) если Я < Я0, то плоскость у0, кроме вершины, не имеет других общих точек с круговым конусом;
б) если Я =Я0, то плоскость у0 и круговой конус имеют одну и только одну общую образующую. В этом случае говорят, что плоскость у0 касается конуса по образующей;
в) если Я >Я0, то плоскость у0 и круговой конус имеют две общие образующие.
Итак, плоскость у0, проходящая через вершину конуса, либо не имеет ни одной общей точки с круговым конусом, кроме вершины, либо касается конуса, либо пересекает конус по двум образующим.
Плоскость сечения у не проходит через вершину конуса и образует с плоскостью Оху угол Я, где 0 < Я ≤ р/2. В этом случае кривая г пересечения плоскости у с круговым конусом есть эллипс, парабола или гипербола. Примеры сечений конуса изображены на рис 4.
Коническим сечением называется линия, по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью, не проходящей через его вершину. Таким образом, коническими сечениями являются эллипс, гипербола и парабола.
Задачи.
Площади оснований усечённого конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения. В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найдите ребро вписанного в него куба. Радиусы оснований усечённого конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую. У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый круговой конус.Анализ решения задач:
Анализ решения задач.
Какие знания, полученные в 11-м классе, пригодились при решении задач?
Какие знания из раздела планиметрии помогли решить задачи?
Подбираются задачи трех уровней. Учащиеся имеют право сами выбрать форму работы и определять, задачи какого уровня им решать.
Задачи первого уровня.
Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Найти площадь боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислить площадь полной поверхности конуса. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом
. В основании конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен 
. Найти площадь полной поверхности конуса. Задачи второго уровня.
Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найти площадь боковой поверхности конуса. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадь основания равна 8. Высота конуса равна 10 см. Найти площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол 30°.Задачи для третьей группы:
Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найти образующую конуса. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания, под углом 45°. Найти площадь основания конуса. Высота конуса равна 12 см. Через образующие проведена плоскость, составляющая угол 60° с плоскостью основания конуса. Хорда стягивает дугу в 30°.Дополнительно.
- Доказать, что сечение конуса плоскостью, проходящей через образующие – равнобедренный треугольник. Объяснить, как построить линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью основания. Найти расстояние от вершины конуса до хорды. Составить план вычислений длины данной хорды и площади сечения.
Сделать чертеж тел вращения.
Заполнить таблицу (работа в парах)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
l | 5 | 2,5 | 2 | 2,5 |
| ||||||
r | 1,5 | 2 | 10 | 3 | |||||||
h | 2 | 3 | 6 | ||||||||
S |
| 1 | 4,5 | ||||||||
б | 30є | р/6 | 45є | р/4 | |||||||
С | 45 | 24 | 120 | ||||||||
в | 200є | 180є |
l - образующая конуса,
r - радиус его основания,
h - высота,
S - площадь осевого сечения,
б - угол образующей с осью,
С - длина окружности основания,
в - центральный угол развертки боковой поверхности.
Задача: Пусть окружность конической кучи щебня 12 м. Длина двух образующих – 4,6 м. Найти площадь поверхности кучи щебня и её объем.
Решение.
l = 4,6 / 2 = 2,3 м
r = 12,1 / 6,28 = 1,9 м
S = p · r· l = 3,14 · 1,9 · 2,3 = 13,7 м2
V = 1/3· p · r2 · H = 1/3 · 3,14 · 1,92 · 
= 1/3 · 3,14 · 3,61·
= 1/3 · 3,14 · 3,61 · 
=1/3 ·3,14 ·3,61·1,3 = 4,9 м3
Сделать чертёж тел вращения.
- Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла, параллельно противолежащему катету. Тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг прямой, содержащей меньшую боковую сторону. Тело, полученное вращением равностороннего треугольника вокруг прямой. Проходящей через вершину треугольника параллельно противолежащей стороне.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида. Положительные числа а, b, с называются полуосями эллипсоида.
Если а≠ b, b≠ с, с ≠а, то эллипсоид называется трехосным. Так как в уравнении (1) x, y, z входят только в четных степенях, то эллипсоид, заданный уравнением (14), симметричен относительно координатных плоскостей, начала координат и осей координат. Центр симметрии эллипсоида называется его центром, а оси симметрии - его осями. Каждая из осей пересекает эллипсоид в двух точках, которые называются его вершинами. У трехосного эллипсоида шесть вершин: А1(а, 0, 0), А2 (-а, 0, 0), В1 (0, b, 0), В2 (0, - b, 0), С1 (0, 0, с), С2 (0, 0, - с).
Все точки эллипсоида (за исключением его вершин) лежат внутри прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2а, 2b, 2с, грани которого параллельны координатным плоскостям и вершинам эллипсоида служат центрами симметрии этих граней
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
