Выберем угол α такой, что в уравнении (6) коэффициент при произведении Y⋅Z равен нулю:
.
Получим, что 
, 
. Чтобы выбрать нужный угол α, решим характеристическое уравнение для эллипса 
:
Отсюда вычислим угловой коэффициент k поворота осей:
Следовательно, cosα = sinα = ±
.
Подставляя эти значения в уравнение (11), получим:
,
т. е. уравнение
(7)
– это каноническое уравнение для данной поверхности, это уравнение задает эллипсоид с полуосями 
и 
. Т. к. a=b, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения.
Более подробно с эллипсоидами мы познакомимся далее.
2) Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Z=h (h=const). Эти линии определяются системой уравнений:
Решая эту систему, получаем:
(8)
где h – любое вещественное число. Уравнения (8) – это уравнения окружностей с радиусом 
, уменьшающимся с увеличением |h| до с, с центрами на оси O’Z в точках C(0, 0, h). Плоскость XO’Y (h=0) пересекает эллипсоид по окружности:
Эта окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При 
получаем уравнение:
,
т. е. сечения при таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При 
получаем отрицательное число под корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XO’Y не пересекает данный эллипсоид. При 
получаем окружность:
Изобразим полученные сечения:
Рис. 3. Сечение плоскостью Z=h.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X=h:
Решая эту систему, получаем:
(9)
где h – любое вещественное число. Уравнения (9) – это уравнения эллипсов с полуосями:
уменьшающимися с увеличением |h|, с центрами на оси O’X в точках C(h, 0, 0) и осями, параллельными плоскости YO’Z.
Плоскость YO’Z (h=0) пересекает эллипсоид по эллипсу
Этот эллипс будет наибольшим, как видно из выражения полуосей. При 
получаем уравнение
т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При 
получаем
т. е. при таких значениях h плоскость YO’Z не пересекает данный эллипсоид. При 
получаем эллипс: 
Изобразим полученные сечения:
Рис. 4. Сечение плоскостью X=h.
Аналогичная картина получается при сечении эллипсоида плоскостью XO’Z.
3.3 Занятие 5 « Поверхности вращения»
Поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой d, называется поверхностью вращения (рис.1)
Рис. 1
Прямая d, вокруг которой производится вращение, называется осью вращения. Вращение точки вокруг оси происходит в плоскости, перпендикулярной оси. В сечении поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, получаются окружности, которые называются параллелями. Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами.
В прямоугольной системе координат уравнение z2 + y2= g2(x) определяет поверхность вращения, образованную вращением вокруг оси Ох линии, заданной уравнениями у= g(x), z=0, а уравнение x2 + z2= h2(y) определяет поверхность, образованную вращением вокруг оси Оу, линии, заданной уравнениями: x= h(y) z=0.
Пример 1. В плоскости Oxz прямоугольной системы координат Oxyz дана окружность x2 + z2= r2 с центром в начале координат радиуса r. Написать уравнение поверхности S, образованной вращением этой окружности вокруг оси Oz.
Решение. Сначала получим уравнение вида x= f(z), y=0 линии г, от вращения которой вокруг оси Oz образуется поверхность. Из уравнения данной окружности находим: 
Здесь знаку «+» соответствует одна полуокружность, а знаку «-»- другая полуокружность данной окружности. Ясно, что при вращении вокруг оси Oz каждой из этих полуокружностей получается та же поверхность, что и при вращении всей окружности.
Поэтому в качестве линии г можно взять одну из указанных полуокружностей, например полуокружность, заданную уравнениями: х= √r2 – z2, у=0.
Уравнение поверхности S имеет вид 
или x2 + y2 + z2 = r2.
Таким образом, поверхностью S является сфера радиуса r с центром в начале координат.
Пример 2. В плоскости Oxz прямоугольной системы координат Oxz дана прямая х=а, параллельная оси Oz. Написать уравнение поверхности, образованной вращением этой прямой вокруг оси Oz.
3. 4 Занятие 6-7 «Цилиндрические поверхности»
С этим геометрическим телом человек знаком давно. Этому знакомству способствовали виды стволов деревьев, из которых со временем начали изготавливать балки для строительства жилищ, мостов и других сооружений. Ещё 3–4 тысячи лет назад люди научились украшать храмы и дворцы высокими колоннами, для чего из каменных глыб вытёсывали его. Евклид, указывая на способ образования этого тела, говорит, что если прямоугольник, вращающийся около одной из сторон, снова вернётся в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура и будет этим геометрическим телом.
Как вы думаете, о чём идёт речь?
Древний термин названия этого тела происходит от греческого слова “килиндро” – вращаю, катаю. “Килиндрос” – свиток, валик.
(Учащиеся предлагают варианты ответов)
Устная работа.
Укажите в природе, технике, архитектуре, среди окружающих вас предметов объекты, имеющие цилиндрическую форму. Объясните, что называют цилиндром, круговым цилиндром. Назовите основные элементы, дайте им определение. Дайте определение прямого цилиндра. Что такое осевое сечение цилиндра? Сколько осевых сечений цилиндра проходит через каждую его образующую? Имеет ли цилиндр : а) центр симметрии; б) ось симметрии? Цилиндр катится по плоскости. Какая фигура получается при движении его оси?Задача 1.
Один цилиндр получен вращением в пространстве прямоугольника АВСD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр- вращением того же прямоугольника вокруг прямой ВС.а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны.
б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров,
если АВ= a, ВС= b.
Решение.
а)
Sбок одинакова.
б) Sполн= 2рab+2рb2= S1, S2=Sполн=2рab + 2рa2,
S1/ S2= 2рb(a+b) / 2ра (a+b)= а/b.
Ответ. а/b= S1/S2
Самостоятельная работа по задачам
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
