Радиостатистический метод экспресс-контроля качества веществ (стр. 13 )

– параметр характеристической функции;

– шаг дискретизации параметра характеристической функции;

m = 0…∞. Используя уравнение Эйлера, можно записать

(4.2)

где – действительная часть характеристической функции;

– мнимая часть характеристической функции. Тогда будет иметь место равенство

(4.3)

Здесь ,

– соответственно модуль и аргумент характеристической функции.

С физической точки зрения параметр является коэффициентом усиления (ослабления) случайного процесса, а произведение есть мгновенная фаза аналитического сигнала

(4.4)

умноженная в раз. Тогда сама характеристическая функция представляет собой математическое ожидание аналитического сигнала с постоянным модулем

(4.5)

а случайный процесс определяет только закон изменения мгновенной фазы сигнала.

Характеристическая функция и плотность вероятности случайного процесса связаны преобразованием Фурье, т. е.

	( 4.6)

Помимо (4.6) установлена связь характеристической функции с начальными и центральными моментными функциями случайного процесса:

(4.7)

Из него следует, что начальные моментные функции k-го порядка отличаются от значения k-х производных характеристической функции при только множителем . В частном случае при k = 1 получаем выражение для математического ожидания случайного процесса

(4.8)

Применение характеристической функции в прикладных исследованиях обусловлено ее привлекательными свойствами. Одним из важных свойств характеристической функции является ее измеримость, так как при сама функция стремится к нулю. Максимальное значение характеристической функции равно единице при , а , откуда вытекает ограниченность характеристической функции.

При решении прикладных задач огромная помощь следует от использования свойства, состоящего в том, что характеристическая функция аддитивной смеси сигнала и помехи равна произведению характеристических функций отдельных слагаемых. Это свойство распространяется на конечное множество случайных процессов. Характеристическая функция суммы равна

(4.9)

где – характеристическая функция i-го случайного процесса.

Здесь также можно говорить о плотности вероятности суммы независимых случайных процессов, которая вычисляется по формуле свертки

( 4.10)

где . Используя преобразование (4.10) можно перейти к характеристической функции аддитивной смеси . Из отношения характеристических функций смеси и помехи довольно просто получить выражения для действительной и мнимой частей характеристической функции сигнала:

	(4.11)

где – действительная часть характеристической функции соответственно сигнала, помехи и смеси;

– мнимая часть характеристической функции соответственно сигнала, помехи и смеси.

Данное свойство характеристической функции позволяет проводить математическую фильтрацию аддитивной смеси, очищая сигнал от помехи.

Оценки значений вероятностной характеристики вычисляются по следующим формулам:

функции распределения вероятности

(4.12)

плотности вероятности

(4.13)

корреляционной функции

(4.14)

спектральной плотности мощности

(4.15)

начальные моментные функции k-го порядка при k = 1, 2, 3, 4

	(4.16)
	(4.17)
	(4.18)
	(4.19)

центральные моментные функции k-го порядка при k = 1, 2, 3, 4

,

(4.20)

где – максимальное значение сигнала;