Радиостатистический метод экспресс-контроля качества веществ (стр. 15 )

Методика метрологической аттестации лабораторного стенда [ 87] состояла в определении погрешности измерения значения оценки вероятностных характеристик квазидетерминированного сигнала при помощи характериометра путем сравнения с теоретическими значениями, вычисленными по известным формулам, приведенным в [69]. Плотность вероятности квазидетерминированного сигнала представляет собой закон арксинуса и рассчитывается по формуле

(4.22)

функция распределения вероятности – по формуле

(4.23)

характеристическая функция рассчитывается через функцию Бесселя первого рода нулевого индекса

(4.24)

где – амплитуда квазидетерминированного сигнала, – параметр характеристической функции. Характеристическая функция квазидетерминированного сигнала имеет только действительную часть, т. к. функция является четной.

Сначала были получены оценки вероятностных характеристик квазидетерминированного сигнала при помощи характериометра, а затем в соответствующих точках были рассчитаны теоретические значения этих характеристик. Затем рассчитывалась абсолютная погрешность как разность между экспериментальными и теоретическими значениями соответствующей вероятностной характеристики. Относительная погрешность вычислялась как отношение абсолютной погрешности к теоретическому значению вероятностной характеристики. Кривые погрешностей приведены на рисунках 18, 19, 20.

Рисунок 18 – Погрешность измерения функции распределения вероятности

Рисунок 19 – Погрешность измерения плотности вероятности

Рисунок 20 – Погрешность измерения действительной части характеристической функции

Анализ погрешностей показал, что при измерении вероятностных характеристик значением 0,15 и более, величина относительной погрешности составляет 5-16 %. Для уменьшения относительной погрешности рекомендуется проводить пять независимых экспериментов. Это позволит снизить погрешность измерений в раз. Тогда погрешность лабораторного стенда при измерении любой вероятностной характеристики случайного напряжения не будет превосходить 8 %.

Таким образом, структурная схема лабораторного стенда включает метрологически проверенные приборы с погрешностью, указанной в их техническом паспорте. Анализ метрологических характеристик лабораторного стенда для проведения исследований вещества позволил определить его относительную погрешность на уровне 8 %.

Определение интегрального показателя качества

Виртуальный характериометр позволяет вычислить значения действительной и мнимой частей характеристической функции исследуемого сигнала, а затем на их основе другие вероятностные характеристики сигнала, такие как плотность вероятности, функция распределения вероятности, корреляционная функция, спектральная плотность энергии, начальные и центральные моментные функции.

Каждая вероятностная характеристика, полученная нами, представляет собой массив значений, кроме начальных и центральных моментных функций, представляющих конкретные числовые значения.

По числовым значениям вероятностных характеристик можно сделать вывод об их зависимости от свойств среды, однако для точного сравнения свойств разных сред необходимо использовать более сложные алгоритмы, которые позволят наиболее адекватно представить значение интегрального показателя качества. Для этого необходимо выбирать вероятностные характеристики, содержащие наибольшее количество информации о случайно-неоднородной среде. Логично предположить, что вероятностные характеристики сигнала будут содержать различное количество информации о среде. Для того чтобы определить это, необходимо рассчитать энтропию этих характеристик.

Энтропия закона арксинуса

В соответствии с теорией информации непрерывный закон арксинуса

(4.1)

имеет числовую характеристику в виде энтропии, т. е. неопределённости о мгновенных значениях сигнала до их полного однозначного определения. Энтропия равна количеству информации, которое должно быть потрачено для опознания любого мгновенного значения сигнала из множества его значений. Для непрерывного закона распределения энтропию рассчитывают по формуле [ 88]

(4.2)

где основание логарифма может быть любым, т. к. оно определяет только единицы измерения информации. После подстановки в формулу (4.26) выражения закона арксинуса и соответствующих преобразований получен следующий результат:

(4.25)

где – разность. Эта величина определяет отличие мгновенного значения сигнала от амплитуды колебания. Значения функции (4.27) были рассчитаны с помощью программного пакета Matlab. График функции в логарифмической шкале представлен на рисунке 21.

Рисунок 21 – Энтропия закона арксинуса

График показывает, что энтропия закона арксинуса растёт с уменьшением величины е, а при она равна минус бесконечности. Это новый парадокс, связанный с законом арксинуса, т. к. энтропия всегда положительна. С физической точки зрения этого не может быть, потому что любое мгновенное значение сигнала имеет конечную неопределённость, для раскрытия которой затрачивается вполне определённое количество информации. Амплитуда входит в множество мгновенных значений сигнала, значит она имеет конечную информацию.

Если текущее мгновенное значение сигнала мало отличается от амплитуды сигнала, то определённость небольшая и равна 0,51 натуральных единиц (0,74 бит) при . Энтропия растёт, когда мгновенное значение сигнала значительно отличается от амплитуды. При е = 10 энтропия равна 5,1 натуральных единиц (7,4 бит), т. е. она выросла на порядок. Здесь можно говорить, что каждому значению сигнала соответствует своя энтропия. Следовательно, мгновенное значение сигнала содержит количество информации, определяемое вероятностью его появления [ 89].

Энтропия центральных моментов распределения

Среди вероятностных характеристик стационарных случайных процессов имеются центральные моменты распределения, описывающие энергетические свойства процесса, причем центральный момент первого порядка тождественно равен нулю. Следовательно, нами рассматриваются центральные моменты Мk, где k = 2, 3, 4. В связи с этим представляет интерес количественно выразить объем сведений о случайном процессе, который несет центральный момент k-го порядка. Другими словами, необходимо определить количество информации о случайном процессе, которое содержится в численном значении центрального момента.

Решение такой задачи позволило бы, например, разрабатывать шкалу по значениям оценок вероятностных характеристик, по которой можно было бы определять свойства случайного процесса или вещества, формирующего случайный сигнал. При исследовании вещества радиостатистическим методом значения оценок центральных моментов распределения получаются разные.

Значения оценок моментов – это случайные величины с некоторой вероятностью их появления. Эти значения получены в результате статистической обработки данных, представленных мгновенными значениями случайного сигнала. Если случайный сигнал – напряжение, то размерность оценок моментов будет В2, В3, В4 для значений оценок соответственно.

При обработке данных их количество взято настолько большим, насколько позволил эксперимент (в нашем примере использовано 4096 мгновенных значений в каждом эксперименте). Всего выполнено пять независимых измерений при изучении каждого момента распределения. В итоге, статистическая погрешность обработки данных не превышает 10 %.