В. г. Пронников, Теория экономического анализа (стр. 17 )

m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6 – это условие отвечает критерию
оптимальности;

исследуются неиспользованные пункты (А1В2, А1В3, А2В1, А2В4, А3В1 и А3В2) аналогично тому, что выполнено в п.2. Процесс продолжается до тех пор, пока будут иметь место пункты, дающие экономию транспортных затрат.

Примечание:

После получения очередного плана необходимо определить величину транспортных затрат и экономию их по сравнению с первым
в абсолютном и относительном выражении. Так по второму плану они составляют

ТЗ2 =+ 5 (17) ++++=

= 1807 ден. ед.

Экономия по сравнению с первым планом составляет:

в абсолютном выражении Эабс = 1807 – 1947 = 140 ден. ед.;

в относительном выражении

При решении транспортных задач используются и другие алгоритмы, позволяющие сократить вычислительный процесс, затраты времени и в результате этого получить экономию.

Дальнейшее решение предлагается выполнить студентам по указанному выше алгоритму.

Симплексный метод

Среди различных методов решения планово-экономических задач большое применение получил симплексный метод.

Основная задача линейного программирования, решаемая симплексным методом состоит в следующем.

Найти такие неотрицательные значения неизвестных Х1, Х2, … Хn,
которые придавали бы максимум или минимум линейной функции

и удовлетворяли бы следующей системе уравнений

где:

c1 , c2 , … cn – известные числа;

a11, a12 …. a1n – наперед заданные числа;

b1 , b2 , … bm – наперед заданные числа;

xi > 0, где i = 1,2, … n.

Пример 39

Пусть цех выпускает четыре вида различных изделий. Для цеха установлен следующий сменный план выпуска изделий: 1 изделия – 100 ед., 2 изделия – 80 ед., 3 изделия – 60 ед., 4 изделия – 50 ед.

Для выполнения плана цех располагает следующими сменными ресурсами: А – производственного оборудования – 880 ед., Б – сырья – 800 ед., В – электроэнергии – 950 ед.

Расход ресурсов на одно изделие представлен в следующей таблице:

Ресурсы	Изделия
1	2	3	4
Оборудование	2	3	2	4
Сырье	1	2	3	4
Электроэнергия	2	3	4	2

Задана стоимость единицы каждого изделия: 1-го изделия – 5 руб.,
2-го изделия – 6 руб., 3-го изделия – 7 руб., 4-го изделия – 9 руб.

Требуется определить сверхплановый выпуск изделий с максимальной стоимостью.

Решение:

Для выполнения плана требуются следующие затраты:

оборудования – 2(100) + 3(80) + 2(60) + 4(50) = 760 ед.;

сырья – 1(100) + 2(80) + 3(60) + 4(50) = 640 ед.;

электроэнергии – 2(100) + 3(80) + 4(60) +2(50) = 780 ед.

Для перевыполнения плана остается:

оборудования – 120 ед. (880 – 760);

сырья – 160 ед. (800 – 640);

электроэнергии – 170 ед. (950 – 780).

Обозначим через Х1 – количество изделий 1, которые могут быть изготовлены сверх плана, через Х2 – то же по изделию 2, Х3 – по изделию 3 и Х4 – по изделию 4.

Тогда количество изготавливаемых сверх плана четырех видов изделий должно удовлетворить следующим ограничениям по ресурсам:

.

(1)

Эти неравенства показывают, что для получения сверхплановой продукции оставшиеся ресурсы могут использоваться полностью (=) или частично (<).

Найти

Zmax = 5х1+6х2+7х3+9х4. (2)

Для решения задачи симплексным методом необходимо преобразовать неравенства в эквивалентные равенства путем добавления свободных переменных х5, х6, х7, которые также являются неизвестными. Свободные переменные показывают разность между возможными
и используемыми ресурсами. В результате получается следующая система равенств:

.

(3)

Эти свободные переменные вводятся в целевую функцию, экстремум которой необходимо определить, то есть

Zmax = 5х1+6х2+7х3+9х4+0(х5)+0(х6)+0(х7).

Свободные переменные Х5, Х6 и Х7, входят в целевую функцию
с нулевой стоимостью и, следовательно, на ее величину не влияют. Однако эти переменные играют важную роль в методике симплексного метода.

В результате этого получается следующая первая симплексная таблица (первый базовый, опорный план):

План 1

Ci			5	6	7	9	0	0	0	Контрольный столбец
Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
0	Х5	120	2	3	2	4	1	0	0	132
0	Х6	160	1	2	3	4	0	1	0	171
0	Х7	170	2	3	4	2	0	0	1	182
Zi –Ci		0	– 5	– 6	– 7	– 9	0	0	0	– 27

Решение:

1. План будет считаться неоптимальным до тех пор пока в строке целевой функции будут сохраняться отрицательные значения (при решении на max и положительные при решении на min).

2. Оптимизация плана начинается с определения продукта (ключевого столбца), включение которого в план приведет к его улучшению. Этот продукт принимается по наименьшей абсолютной величине (это Х4).

3. Определяется продукт в плане, который следует вывести из плана, ибо он сдерживает улучшений плана. Этот продукт (ключевая строка) определяется путем деления значений векторного столбца, (Х0) на соответствующие значения ключевого столбца (Х4): 120:4=30, 160:4=40 и 170:2=85 по наименьшему частному принимается ключевая строка (это Х5).

4. Значения элементов новой таблицы определяется по следующим правилам:

1) бывший ключевой столбец в новой таблице имеет нулевые значения, кроме разрешающего элемента (rij), элемента лежащего на пересечении ключевого столбца – Х4 и ключевой строки – Х5, который
в новой таблице принимается за единицу;

2) ключевая строка (Х5) в новой симплексной таблице принимается путем деления величин элементов старой таблицы на ключевое число, а именно:

120:4=30; 3:4=3/4; 4:4=1; 0; 132:4=33;

2:4=0,5; 2:4=0,5; 1:4=1/4; 0;

3) если в ключевом столбце имеются нули, то соответствующая строка переносится в новую таблицу без изменения (в данной таблице таких строк нет);

4) если в ключевой строке есть нули, то соответствующий столбец переносится в новую таблицу без изменения (в данной таблице это столбцы Х6 и Х7);

5) остальные элементы новой симплексной таблицы определяются по формуле

,

где:

a0ij – величина элемента в предыдущей таблице, например для Х6.0 это 160;

bkj – значение соответствующего элемента, лежащее в ключевой строке, например для Х6.0 это 120;

cik – значение соответствующего элемента, лежащего в ключевом столбце, например для Х6.0 это 4.

Откуда:

,

,

и т. д.

Проверка:

Z = 5(Х1) + 6(Х2) + 7(Х3) + 9(Х4) + Х6(0) + Х7(0)

= 5(0) + 6(0) + 7(30) + 9(0) + 0+ +0 + 0 = 270 ден. ед.,

что соответствует расчету элемента

ХZ.0 = 270 ден. ед.

5. Если в итоговой (целевой) строке имеются отрицательные значения, повторяется эта же процедура: определяется ключевой столбец, ключевая строка, остальные элементы новой симплексной таблицы по правилам упрощенного расчета и по формуле определения оставшихся элементов.

(Дальнейший расчет, предлагается студентам выполнить самостоятельно. По результатам сделать выводы).

Применение СПУ в экономическом анализе

Внедрение достижений научно-технического прогресса в практику на пороге XXI века выявило большой разрыв между его возможностями и методами управления, особенно при разработке больших и сложных систем и комплексов (грандиозных сооружений, тоннелей и мостов через проливы морей и водные бассейны, космических ракет и подводных городов, заводов-городов со сложной и закрытой технологией и других нестандартных объектов).

Ошибки проектирования и претворения проекта в реальность (создания или строительства) вызвали громадные потери во времени, в материалах и денежных средствах. Это послужило основанием поиска таких систем управления, которые содействовали бы устранению разрыва между возможностями НТП и существующей системы управления.

Научные и практические поиски в этом направлении привели
к созданию системы КОППР (критический отбор проектно-плановых решений), вошедшей в последствии как система сетевого планирования и управления (СПУ). Последнее название закрепилось за этим методом в силу того, что его основой является сетевой график. Этот метод позволял устранить недостатки традиционных методов управления, основанных на ленточных диаграммах (графиках Ганта). Последние не позволяли:

1)  охватить в единое целое все многообразие работ по созданию сложных систем;

2)  отразить взаимную связь работ единого, сложного комплекса;

3)  выявить из всех работ те, от выполнения которых зависит выполнение всего комплекса работ в заданное (планируемое) время, объем, стоимость работ, либо какой другой принятый критерий.

Применение метода СПУ позволяет руководству:

1)  иметь исчерпывающую информацию о ходе выполнения работ на любой момент времени;

2)  видеть работы, от выполнения которых в данный момент времени зависит выполнение всего комплекса работ;

3)  определять критический (напряженный) путь и оперативно содействовать ответственным исполнителям этих работ в соблюдении графиков их выполнения;

4)  своевременно использовать имеющиеся резервы на ненапряженных работах для выполнения работ, составляющих критический путь.

Важнейшим документом при СПУ является сетевой график, представляющий собой графическую модель взаимосвязи между работами. Основными элементами графика являются работы (обычно изображаются стрелками), события (изображаются кружками) и пути (последовательность работ от начального до конечного события).

Работы бывают:

1)  реальными (сплошная стрелка), имеют размерность в натуральных, в стоимостных или временных единицах (часы, смены, дни, недели, месяцы);

2)  фиктивными (пунктирная стрелка), не имеют размерности
и означают ожидание.

События не имеют размерности и означают:

1)  работа закончена (для той или тех, которые входят в события);

2)  работа начата (для той или тех работ, которые выходят из события).

Из начального события работы только выходят, в конечное только входят.

Путь в сетевом графике бывает:

1)  критический (напряженный), не имеющий резервов времени. Увеличение продолжительности работ на этом пути увеличивает выполнение всего комплекса работ, а сокращение – уменьшает;

2)  подкритический – путь, занимающий наибольшую напряженность после критического;

3)  рядовой (обычный, ненапряженный) путь, имеющий резервы времени.

Сетевой график имеет следующие параметры:

1)  продолжительность выполнения работы – tij;

2)  раннее начало и окончание работы – tРН;

3)  позднее начало и окончание работы – tПН;

4)  резервы времени (полный – Rij и частный – rij).

Анализ сетевого графика предполагает выявление резервов времени и определение работ, лежащих на критическом пути. Анализ может осуществляться аналитическим, графическим и табличным методами, либо их сочетанием, например, таблично-аналитическим. При использовании последнего исходные данные с графика на рисунке переносят
в таблицу в логической последовательности выполнения работ (см. табл.28).

 

Сетевой график выполнения комплекса работ

Пример 40

По данным сетевого графика на рисунке представленном выше, требуется определить резервы времени и выявить критический путь.

Для определения резервов времени предварительно рассчитывается раннее и позднее время начала и окончания работ. Раннее время начала и окончания работ (РН, РО) определяется прямым ходом, то есть от начального события к конечному. Время РН работ, выходящих из начального события принимается равным нулю, а время РО принимается равным времени РН плюс продолжительность выполнения. При этом время РН последующих работ, выходящих из одного события принимается по наибольшему значению времени РО предыдущей работы, входящее в это событие (например, для работ 4-6
и 4-8 РН принимается из времени РО работ 1-4 и 2-4 не 9, а 10 дней).

Таблица 28

Расчет параметров сетевого графика

Работа, i-j	Продол-житель-ность, дн. ti-j	Время раннего	Время позднего	Полный резерв времени, Ri-j	Частный резерв времени, Ri-j
начала tPH	окончания tPO	начала tПН	окончания tПО
0-1	4	0	4	7	11	7	0
0-2	3	0	3	2	5	2	0
0-3	5	0	5	0	5	0	0
1-4	6	4	10	11	17	7	0
2-4	6	3	9	11	17	8	1
2-5	12	3	15	5	17	2	2
3-5	12	5	17	5	17	0	0
4-6	4	10	14	20	24	10	7
4-8	7	10	17	17	24	7	0
5-6	4	17	21	20	24	3	0
5-7	7	17	24	17	24	0	0
6-9	4	21	25	24	28	3	3
7-9	4	24	28	24	28	0	0
8-9	4	17	21	21	28	7	7

Позднее начало и окончание (ПН и ПО) работ определяется обратным ходом, то есть от конечного события к начальному. В начале определяется время ПО работ, входящих в конечное событие. Оно принимается равным наибольшему значению времени РО. Время ПН работ, входящих в конечное событие равняется разности между временем ПО и продолжительности работ. Время ПО предыдущих работ принимается равным наименьшему значению времени ПН последующих работ, выходящих из данного события. Например, для работ 2-5 и 3-5 время ПО принимается не 20 дней работы 5-6, а 17 дней работы 5-7.