В. г. Пронников, Теория экономического анализа (стр. 18 )

Резерв времени полный – это время, на которое можно перенести время РО работ, чтобы не увеличить выполнение всего комплекса работ. Определяется оно как разность между ПО и временем РО или временем ПН и РН работ.

Частный резерв времени определяется как разность между временем РО и РН и продолжительностью работы. В тех случаях, когда для ряда работ имеется несколько значений времени РО в расчет принимается наибольшее (например, для работы 2-4 , а не 9-3-6, так как событие 4 произойдет лишь через 10 дней, а не 9). Частный резерв времени – это время на которое можно перенести время РН работ, чтобы не увеличить время выполнения всего комплекса работ.

Работы, не имеющие ни полного, ни частного резерва времени является напряженными и их последовательность составляет критический путь. В данном примере это 0-3, 3-5, 5-7 и 7-9.

ТЕМА 6

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В АНАЛИЗЕ

Транспортные задачи

Важнейшим инструментом экономического анализа является математическое моделирование экономических явлений и процессов.
В экономическом анализе в основном используются математические модели, которые описывают изучаемые явления и процессы в виде неравенств, уравнений и других математических функций.

Наибольшее распространение из экономико-математических методов (ЭММ) в практике экономического анализа получили методы линейного программирования, в частности при решении транспортных
и производственных задач. Так математическая формулировка траспортной задачи состоит в следующем:

имеется m – поставщиков и n – потребителей.

Количество продукции у поставщика i-го составляет – Ai, спрос потребителя j – Bj.

Затраты по перевозке одной машины груза от i-го поставщика к j – му потребителю составляет – Cij : ( Cij ³ 0).

Размер поставки от i к j составляет Xij.

Исходные данные должны удовлетворять следующему условию: наличие продукции у поставщика равно потребностям потребителей
(в случаях их неравенства вводится фиктивный поставщик или потребитель).

.

Исходное решение отвечает следующей целевой функции:

,

то есть затраты по перевозкам должны быть минимальными.

Необходимо отметить, что количество неизвестных Xij на всех этапах транспортной задачи должно быть равным m + n –1, то есть число неиспользованных маршрутов отвечает данной величине. Это и будет первым критерием оптимальности.

Пример 38

Имеется три склада, расположенные в трех пунктах: А1, А2, А3.
В пункте А1 имеется 20 машин груза, в пункте А2 – 30, в пункте А3 – 45 машин груза.

Этот груз должен быть доставлен в четыре пункта назначения В1, В2, В3 и В4. Причем пункту В1 необходимо доставить 15 машин груза, В2 – 19, В3 – 28 и пункту В4 – 33 машины груза.

Затраты в денежных (ден.) единицах (ед.) на перевозку одной машины из пункта Аi в пункт Bj представлены в следующей таблице:

Таблица 27

Контрагенты	Потребители
В1	В2	В3	В4
Постав-щики	А1	22	26	15	17
А2	10	15	20	40
А3	21	27	11	25

Решение:

3.  Осуществляется первоначальное закрепление поставщиков за потребителями методом северо-западного угла (то есть с верхнего левого угла в правый нижний, см. План 1, в котором записаны исходные данные), а именно: поставщик А1 может полностью удовлетворить потребности В1 (15 единиц груза) и у него остается 5 единиц, которые он поставит В2. На этом объем производства у А1 закончен, а недостающие 14 единиц продукции В2 получает от А2, у которого еще остается 16 единиц (30 – 14), которые он отправит в пункт В3 и так далее (План 1).

План 1

Вj Аi	В1	В2	В3	В4	Произ-водство
А1	22 15	26 5	15	17	20
А2	10	15 14	20 16	40	30
А3	21	27	11 12	25 33	45
Потреб-ность	15	19	28	33	95

4.  Транспортные затраты по плану 1 составляют:

ТЗ1 =+ 5 (26) ++++=

= 1947 ден. ед.

Проверка Плана 1 на оптимальность:

5.  m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6 данный критерий условно отвечает оптимальности;

6.  исследование неиспользованных маршрутов (А1В3, А1В4, А2В1, А2В4, А3В1 и А3В2). Исследование осуществляют составлением транспортной цепи, которая составляется ходом шахматной ладьи по занятым пунктам и с возвратом в начальный. Предпочтительно цепочку вести по часовой стрелке (повороты делаются под прямым углом, минуя промежуточные пункты). Предполагается переброска груза в свободные пункты (+) и для сохранения баланса в следующем пункте эта величина груза вычитается (–). Так для А1В3 транспортная цепочка составит А1В3 (+) ® А2В3 (–) ® А2В2 (+) ® А1В2 (–). Затраты по переброске в пункт А1В3 составят: З = 15 – 20 + 15 – 26 = – 16 ден. ед., что говорит о целесообразности такой переброске, ибо только на переброске одной единицы груза экономится 16 ед. транспортных затрат.

Для А1В4 (+) ® А3В4 (–) ® А3В3 (+) ® А2В3 (–) ® А2В2 (+) ® А1В2 (–) =
= 17 – 25 + 11 – 20 + 15 – 26 = – 28 ден. ед., то есть имеется еще большая экономия.

Аналогичным образом осуществляется анализ остальных неиспользованных маршрутов;

7.  после анализа всех неиспользованных маршрутов делается переброска в тот пункт, который дает наибольшую экономию транспортных затрат (наибольшее отрицательное число в транспортной цепи имеется в пунте А1В4, то есть – 28 ден. ед.);

8.  переброска делается по цепи А1В4 ® А3В4 ® А3В3 ® А2В3 ® А2В2 ® А1В2 ® А1В4. Из всей цепи, для сохранения баланса выбирается минимальная величина груза (это 5 ед. в А1В2). Эта величина груза поставляется в пункт А1В4, а также в те пункты, которые получили положительные оценки (А3В3, А2В2), а из величин груза в пунктах с отрицательной оценкой (А3В4, А2В3 и А1В2) эти 5 ед. вычитаются.

План 2

Вj Аi	В1	В2	В3	В4	Производство
А1	22 15	26	15	17 5	20
А2	10	15 19	20 11	40	30
А3		27	11 17	25 28	45
Потребность	15	19	28	33	95

Проверка Плана 2 на оптимальность:

m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6 – это условие отвечает критерию
оптимальности;

исследуются неиспользованные пункты (А1В2, А1В3, А2В1, А2В4, А3В1 и А3В2) аналогично тому, что выполнено в п.2. Процесс продолжается до тех пор, пока будут иметь место пункты, дающие экономию транспортных затрат.

Примечание:

После получения очередного плана необходимо определить величину транспортных затрат и экономию их по сравнению с первым
в абсолютном и относительном выражении. Так по второму плану они составляют

ТЗ2 =+ 5 (17) ++++=

= 1807 ден. ед.

Экономия по сравнению с первым планом составляет:

в абсолютном выражении Эабс = 1807 – 1947 = 140 ден. ед.;

в относительном выражении

При решении транспортных задач используются и другие алгоритмы, позволяющие сократить вычислительный процесс, затраты времени и в результате этого получить экономию.

Дальнейшее решение предлагается выполнить студентам по указанному выше алгоритму.

Симплексный метод

Среди различных методов решения планово-экономических задач большое применение получил симплексный метод.

Основная задача линейного программирования, решаемая симплексным методом состоит в следующем.

Найти такие неотрицательные значения неизвестных Х1, Х2, … Хn,
которые придавали бы максимум или минимум линейной функции

и удовлетворяли бы следующей системе уравнений

где:

c1 , c2 , … cn – известные числа;

a11, a12 …. a1n – наперед заданные числа;

b1 , b2 , … bm – наперед заданные числа;

xi > 0, где i = 1,2, … n.

Пример 39

Пусть цех выпускает четыре вида различных изделий. Для цеха установлен следующий сменный план выпуска изделий: 1 изделия – 100 ед., 2 изделия – 80 ед., 3 изделия – 60 ед., 4 изделия – 50 ед.

Для выполнения плана цех располагает следующими сменными ресурсами: А – производственного оборудования – 880 ед., Б – сырья – 800 ед., В – электроэнергии – 950 ед.

Расход ресурсов на одно изделие представлен в следующей таблице:

Ресурсы	Изделия
1	2	3	4
Оборудование	2	3	2	4
Сырье	1	2	3	4
Электроэнергия	2	3	4	2

Задана стоимость единицы каждого изделия: 1-го изделия – 5 руб.,
2-го изделия – 6 руб., 3-го изделия – 7 руб., 4-го изделия – 9 руб.

Требуется определить сверхплановый выпуск изделий с максимальной стоимостью.

Решение:

Для выполнения плана требуются следующие затраты:

оборудования – 2(100) + 3(80) + 2(60) + 4(50) = 760 ед.;

сырья – 1(100) + 2(80) + 3(60) + 4(50) = 640 ед.;

электроэнергии – 2(100) + 3(80) + 4(60) +2(50) = 780 ед.

Для перевыполнения плана остается:

оборудования – 120 ед. (880 – 760);

сырья – 160 ед. (800 – 640);

электроэнергии – 170 ед. (950 – 780).

Обозначим через Х1 – количество изделий 1, которые могут быть изготовлены сверх плана, через Х2 – то же по изделию 2, Х3 – по изделию 3 и Х4 – по изделию 4.

Тогда количество изготавливаемых сверх плана четырех видов изделий должно удовлетворить следующим ограничениям по ресурсам:

.

(1)

Эти неравенства показывают, что для получения сверхплановой продукции оставшиеся ресурсы могут использоваться полностью (=) или частично (<).

Найти

Zmax = 5х1+6х2+7х3+9х4. (2)

Для решения задачи симплексным методом необходимо преобразовать неравенства в эквивалентные равенства путем добавления свободных переменных х5, х6, х7, которые также являются неизвестными. Свободные переменные показывают разность между возможными
и используемыми ресурсами. В результате получается следующая система равенств:

.

(3)

Эти свободные переменные вводятся в целевую функцию, экстремум которой необходимо определить, то есть

Zmax = 5х1+6х2+7х3+9х4+0(х5)+0(х6)+0(х7).

Свободные переменные Х5, Х6 и Х7, входят в целевую функцию
с нулевой стоимостью и, следовательно, на ее величину не влияют. Однако эти переменные играют важную роль в методике симплексного метода.

В результате этого получается следующая первая симплексная таблица (первый базовый, опорный план):

План 1

Ci			5	6	7	9	0	0	0	Контрольный столбец
Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
0	Х5	120	2	3	2	4	1	0	0	132
0	Х6	160	1	2	3	4	0	1	0	171
0	Х7	170	2	3	4	2	0	0	1	182
Zi –Ci		0	– 5	– 6	– 7	– 9	0	0	0	– 27

Решение: