Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методический комплекс (стр. 14 )

а) бизнесмен;

б) прибыл из стран СНГ по делам бизнеса;

в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса;

г) прибывший международным рейсом бизнесмен.

Литература: 4, 7, 12

7. Задания для самостоятельной работы студентов

Тема 1. Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей

Задача 1. Вероятность для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, получить контракт в стране А равна 0,4, вероятность выиграть его в стране В, равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?

Задача 2. Среди студентов института по результатам зимней сессии 30% первокурсников имеют только отличные оценки, среди второкурсников таких студентов 35%, на третьем и четвертом курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на втором – 30%, на третьем – 35%, на четвертом – 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) – третьекурсник.

Задача 3. Предположим, что среднее число посетителей, прибывающих в банк в течение 30 минут, равно 5. Банку необходимо знать вероятность того, что 4 посетителя прибудут в банк в течение 30 минут.

Задача 4. Пьер работает в пункте по обмену валюты в офисе аэропорта Орли в Париже. Его пункт открыт ночью, когда банк аэропорта закрыт, и он делает в основном свой бизнес на туристах, возвращающихся в Америку, которые хотят обменять франки на доллары. Из опыта Пьер знает, что потребность в долларах в любую ночь в течение сезона приблизительно подчиняется нормальному закону распределения со средней $25000 и средним квадратическим отклонением, равным $5000. Если Пьер сохраняет много наличности, то он должен платить штраф (процент за наличность). Если денег не хватает, то он должен посылать человека в круглосуточно работающее отделение банка за получением наличности, а это тоже стоит денег. Пьер хотел бы иметь в течение ночи такую сумму денег, чтобы с уверенностью 85% покрывать требующуюся на ночь сумму валюты. Помогите Пьеру определить требуемую сумму долларов.

Задача 5. Оцените вероятность того, что при 1000 подбрасываниях монеты герб появится от 400 до 600 раз?

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 2. Формула полной вероятности и формула Байеса

Задача 1. Какова вероятность того, что последняя цифра наугад набранного телефонного номера окажется равной или кратной 3?

Задача 2. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке – фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была перенесена фамилия женщины?

Задача 3. В карточной игре игрок, который извлекает из колоды карт (52 карты) валет или даму, выигрывает 15 очков; тот, кто вытащит короля или козырного туза, выигрывает 5 очков. Игрок, который достанет любую другую карту, проигрывает 4 очка. Если Вы решили участвовать в этой игре, определите сумму очков среднего ожидаемого выигрыша.

Задача 4. Доля протеина в пакете с сухим кормом для собак – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2% и стандартным отклонением 0,6%. Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого корма доля протеина составляла не меньше х1,%, но не более х2, %.

Задача 5. Принимая одинаково вероятным рождение мальчика и девочки, оцените с помощью теоремы Бернулли вероятность того, что из 1000 родившихся детей мальчиков будет от 465 до 535.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 3 Случайные величины

Задача 1. Автомат производит детали, используемые в компьютерах. В любой момент времени автомат может быть в одном из трех состояний: работает с включенным блоком автоматического контроля; работает без контроля и выключен. Инженер по контролю качества из опыта знает, что вероятность того, что блок контроля отключится в любой момент времени, равна 0,02, а вероятность того, что автомат полностью выключится, равна 0,015.

1.  Каковы взаимоотношения между событиями «автомат без контроля» и «автомат выключен»?

2.  Когда в автомате отключается блок контроля, либо он полностью останавливается, вызывается механик ремонтной службы. Чему равна вероятность того, что в настоящий момент должен быть вызван механик?

Задача 2. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что её заполнял мужчина?

Задача 3. На торговой базе для продажи приготовлена партия из 10 моторов стоимостью в 100 условных денежных единиц каждый. Если покупатель в приобретенной партии обнаружит хотя бы один неисправный мотор, то ему возвращается его двойная стоимость. Найти ожидаемую чистую прибыль для продавца, если вероятность дефекта для любого мотора равна 0,08.

Задача 4. Пусть X – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а=410 и средним квадратическим отклонением σ=2. Найдите вероятность того, что X примет значение между 407 и 415.

Задача 5. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе для всех проб одинакова и равна 0,8. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла будет заключено между 290 и 350.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 4. Законы распределения дискретных случайных величин

Задача 1. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет не больше 6?

Задача 2. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% – местные, 30% – по СНГ и 10% – в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, свя­занным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров – 60%, на международных – 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он:

а) бизнесмен;

б) прибыл из стран СНГ по делам бизнеса;

в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса;

г) прибывший международным рейсом бизнесмен.

Задача 3. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 10 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,1. Предположим, что нефтеразведки осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Найти математическое ожидание и дисперсию числа успешных разведок.

Задача 4. Для нормально распределенной случайной величины с а=-44 и σ=16 найдите вероятность того, что значение случайной величины будет положительно.

Задача 5. Вероятность появлений события при каждом испытании равна 0,6. Производится 800 независимых испытаний. Оцените вероятность того, что в этих условиях отклонений частости вероятности будет меньше, чем 0,03.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 5. Непрерывные случайные величины

Задача 1. В урне 10 белых, 8 черных и 12 красных шаров, Наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут красный шар?

Задача 2. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкури­рующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Задача 3. Два строительных контракта случайным образом распределяются среди трех фирм: I, II, III. Любая фирма может получить или один, или оба контракта. С каждого полученного контракта прибыль фирмы составит 90000 условных денежных единиц.

а) Найдите ожидаемую прибыль фирмы I.

б) Если фирмы I и II принадлежат одному владельцу, то какова ожидаемая общая прибыль владельца?

Задача 4. Пусть X – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а=16 и со средним квадратическим отклонением σ=3. Найдите: а)Р(11<X<20); б) Р(17<X<49); с) Сумму вероятностей Р(17<X<19) и P(X >15).

Задача 5. В цехе 20 рабочих мест. Вероятности допущения брака при изготовлении однотипных деталей распределены следующим образом:

Количество рабочих мест Ki	2	4	6	8
pi	0.01	0,02	0,03	0,04

С каждого рабочего места случайным образом отобрано по одной детали. Определите вероятность того, что выборочная относительная частота появления бракованной детали будет отличаться от средней вероятности менее чем на 0,1.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 6. Законы распределения непрерывных случайных величин

Задача 1. На сахарном заводе один из цехов производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что один из ста кусочков сахара разбит. Если Вы случайным образом извлекаете два кусочка сахара, то чему равна вероятность того, что, по крайней мере, один из них будет разбит? (Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности отбора).

Задача 2. Детали для обработки поступают из двух заготовительных цехов: из первого цеха – 70%, из второго – 30%, причем продукция первого цеха имеет 10% брака, а продукция второго цеха – 20% брака. Какова вероятность того, что случайно взятая деталь будет без дефектов?

Задача 3. Число телефонных звонков, поступающих в справочное бюро от абонентов между полуднем и часом дня в любой день недели, есть случайная величина X, заданная так:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,3	0,2	0,2	0,1	0,1	0,1

а) Убедиться, что задан ряд распределения.

б) Найти функцию распределения случайной величины X.

в) Используя F{x}, определить вероятность того, что между 12 ч 34 мин и 12 ч 35 мин в справочное бюро поступит больше двух звонков.

Задача 4. Еженедельный выпуск продукции на заводе распределен приблизительно по нормальному закону со средним значением а=134786 ед. продукции в неделю и σ=13000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции:

а) превысит 150000 ед.;

б) окажется ниже 100000 ед. в данную неделю;

в) предположим, что возникли трудовые споры и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюзы в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюзы утверждают, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (±3σ). Доверяете ли Вы профсоюзам?

Задача 5. Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 30000 л в день. Оцените вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 100000 л в день.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 7. Закон больших чисел

Задача 1. Игральная кость бросается дважды. Определить вероятность того что, по крайней мере, один раз появится 6 очков?

Задача 2. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

Задача 3. Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:

xi	0	1	2	3	4	5	6
P(X)=pi	0,01	0,09	0,30	0,20	0,20	0,10	0,10

а) Убедиться, что задан ряд распределения.

б) Найти функцию распределения случайной величины X.

в) Используя F(x), определите вероятность того, что маши­нистка сделает более двух ошибок на страницу.

г) Определить вероятность того, что ею будет сделано не бо­лее 4 ошибок на страницу.

Задача 4. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 мин.

1.  Чему равна функция распределения F(x) для этого равномерного распределения?

2.  Чему равна вероятность ожидания лифта более чем 3,5 мин?

3.  Чему равна вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 сек?

4.  Чему равна вероятность того, что время ожидания лифта в диапазоне от 1 до 3 мин (между 1 и 3 мин)?

Задача 5. Средняя масса корнеплода моркови равна 80 г. Применяя неравенство Маркова, оцените вероятность того, что наудачу взятый корнеплод имеет массу не более 240 г.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 8. Первичная обработка данных

Задача 1. О двух акциях А и В известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется в цене завтра, равна 0,2. Вероятность того, что. обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что Вы знаете, что А поднимется завтра в цене. Чему равна вероятность того, что и В поднимется в цене?

Задача 2. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если Председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

Задача 3. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,10	0,20	0,35	0,20	0,10	0,05

а) Убедиться, что задан ряд распределения.

б) Найти функцию распределения.

в) Определить вероятность того, что более 20% людей от­кликнутся на рекламу.

Задача 4. Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 18 ч. Клиент, прождал до 14 ч, отлучился на 1 ч. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома?

Задача 5. В результате анализа торговой деятельности некоторого предприятия установлено, что среднемесячные издержки обращения составляют 500 усл. ден. ед. Оцените вероятность того, что в очередном месяце издержки не выйдут за пределы 480-520 денежных единиц. Известно, что дисперсия издержек равна 25 ден. ед.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 9. Описательная статистика

Задача 1 . Из группы студентов, в которой 18 юношей и 12 девушек, в совет факультета избираются два человека. Какова вероятность того, что среди избранных окажется хотя бы один юноша?

Задача 2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,9 (если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться). Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?

Задача 3. В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:

xi	0	1	2	3	4	5
P(X)=pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

а) Найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4 (включая 2 и 4).

б) Составить функцию распределения числа автомобилей, продаваемых ежедневно.

Задача 4. Предположим, Вы остановились на шоссе из-за того, что у Вашей машины перегорела обмотка генератора и ее нужно взять на буксир при помощи троса, которого у Вас нет. Каждый из проезжающих останавливается и предлагает Вам помощь. Однако если и у них нет такого троса, то помочь они не могут. Только у 10% автомобилистов есть трос. Сколько автомобилей в среднем остановятся и не смогут оказать Вам помощь?

Задача 5. Вероятность появления события А в одном опыте P=0,4. Можно ли с вероятностью, большей 0,99, утверждать, что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет в пределах от 400 до 600?

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 10. Предварительный анализ данных

Задача 1. Вероятность того, что выпуск продукции возрастет, если процентные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение опре­деленного периода, равна 0,72. Вероятность того, что процентные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение того же периода, равна 0,25. Чему равна вероятность того, что за интересующий нас период процентные ставки упадут, а выпуск продукции увеличится?

Задача 2. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. По оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

Задача 3. Бросаются 2 игральные кости. Пусть X – сумма выпавших очков на верхних гранях этих костей.

а) Составить закон распределения X.

б) Чему равна наиболее вероятная сумма выпавших очков?

Задача 4. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более чем на 0,07.

Задача 5. На станке изготавливается некоторая деталь. Оказывается, что ее длина X представляет собой случайную величину. При измерении в трех случаях длина оказалась равной 20,1 см, в двух случаях – 19,8 см, в одном случае длина оказалась равной 20,5см, а в четырех случаях – 19,9см. Найдите нижний предел вероятности того, что длина детали будет заключена между 19,5 и 20,5 см.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Тема 11. Анализ статистической связи

Задача 1. Аудиторская фирма размешает рекламу в журнале «Коммерсант». По оценкам фирмы, 60% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помешенной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиентами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?