Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методический комплекс (стр. 5 )

M(аХ + b) = аM(Х) + b,

где a, b – числовые параметры.

Формула (3.7) подходит для любых случайных величин как дискретных, так и непрерывных.

В примере 3.6 можно вычислить ожидаемый доход. для этого сначала следует рассчитать ожидаемое среднее значение X, затем умножить полученное значение на 2 и вычесть из полученного произведения стоимость фиксированного выпуска 8000. Ожидаемое значение X есть 6700, следовательно, и ожидаемый доход равен М[h(Х)] = М(2Х – 8000) = 2М(Х) – 8000 = 2∙6700 – 8000 = 5400, что и получено раньше.

3.7. Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания.

σ2 = D(X) = M{[X – M(X)]2} = [xi – M(X)]2P(xi). (3.8)

Вероятности значений случайной величины играют роль весов (частот) при вычислении ожидаемых значений квадратов отклонений дискретной случайной величины от средней. По формуле (3.8) дисперсия вычисляется путем вычитания математического ожидания из каждого значения случайной величины, затем возведения в квадрат результатов, умножения их на вероятности Р(хi) и сложения результатов для всех хi.

Для примера 3.1 (о рекламных объявлениях, размещаемых в газете в определенный день) дисперсия вычисляется так:

σ2 = [xi–M(X)]2P(xi) = (0–2,3)2 + (1–2,3)2 + (2–2,3)2 + (3–2,3)2 + (4–2,3)2 + (5 – 2,3)2 = 2,01.

3.8. Свойства дисперсии дискретной случайной величины

Дисперсия дискретной случайной величины обладает следующими свойствами.

1. D(C) = 0,

где C – постоянная величина.

2. D(C∙X) = C∙D(X),

где C – постоянный множитель.

3. Для конечного числа п независимых случайных величин:

D(X1 ± Х2 ±...± Xn) = D(X1) + D(X2)+...+D(Xn). (3.9)

4. Если Х1, Х2,..., Хn – одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсия каждой из которых равна σ2(Хi), то дисперсия их суммы равна пσ2, а дисперсия средней арифметической равна σ2/п:

σ2/п. (3.10)

Для вычисления дисперсии проще пользоваться другой формулой, полученной путем несложных математических выкладок:

D(X) = M[X – M(X)] 2 = M[X 2 – 2M(X)X + M(X)2] = M(X) 2 – 2M(X)M(X) + [M(X)] 2 = M(X2) – [M(X)] 2 = M(X 2) – М 2(Х).

Таким образом, σ2 = D(X) = M(X2) – М2(Х). (3.11)

При вычислении дисперсии с помощью формулы (3.11) используют определение ожидаемого среднего значения функции случайной дискретной величины из формулы (3.7) для специального случая h(X) = X2. Вычисляют х2 для каждого хi, умножают его на Р(х) и складывают для всех xi. Это дает М(Х2). Для получения дисперсии из M(X2) вычитают квадрат математического ожидания случайной величины X. Используя этот способ, вычислим дисперсию случайной величины для примера 3.1. Результаты оформим в виде рабочей таблицы (табл. 3.7).

Таблица 3.7

К вычислению дисперсии случайной величины

x	P(x)	хР(х)	х2Р(х)
0 1 2 3 4 5	0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1	0,0 0,2 0,6 0,6 0,4 0,5	0,0 0,2 1,2 1,8 1,6 2,5
	1,0	М(X) = 2,3	М(X2) = 7,3

Чтобы получить дисперсию X, вычислим разность M(X2) – [М(Х)]2:

D(X) = M(X2) – [М(Х)]2 = 7.3 – (2,3)2 = 2,01.

Результат совпал с полученным при помощи формулы (3.8).

Среднее квадратическое отклонение (стандартное) отклонение дискретной случайной величины равно корню квадратному из дисперсии

. (3.12)

Для примера 3.1 среднее квадратическое отклонение

В чем смысл дисперсии и среднего квадратического отклонения? Как можно интерпретировать их значения? По определению σ2 – средний квадрат отклонения значений случайной величины от математического ожидания. Отсюда следует, что это мера рассеяния всех возможных значений случайной величины относительно среднего ожидаемого значения. Дисперсия характеризует колеблемость, изменчивость случайной величины: чем больше вариация, тем дальше от средней находятся возможные значения случайной величины. Для содержательной интерпретации зачастую полезно применять значение, которое дает корень квадратный из дисперсии – среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение). Если сравнивают две случайные величины, то та из них, которая имеет большую дисперсию и среднее квадратическое отклонение, более вариабельна. Риск, ассоциируемый с инвестициями, часто измеряют стандартным отклонением возврата инвестиций. Если сравниваются два типа инвестиций с одинаковой ожидаемой средней возврата, то инвестиции с более высоким средним квадратическим отклонением считаются более рискованными (хотя более высокое стандартное отклонение предполагает более вариабельный возврат с обеих сторон – как ниже, так и выше средней).

3.9. Дисперсия линейной функции случайной величины

Для случайной величины, заданной линейной функцией аХ+b, имеем

D(a∙X + b) = a2∙D(X) = a2∙σ2. (3.13)

По формуле (3.13) найдем дисперсию ожидаемого дохода для примера 3.5. Доход задан функцией 2Х – 8000. Находим M(X2) = 50002∙0,2 + 60002∙0,3 + 70002∙0,2 + 80002∙0,2 + 90002∙0,1 = 4650000. М(Х) = 6700. Отсюда дисперсия D(X) = M(X2) – [М(Х)]2 = – 67002 = 1610000. Используя формулу (3.13), вычислим дисперсию ожидаемого дохода: D(Х) = σ2 = 22∙1610000 = 6440000. Среднее квадратическое отклонение дохода равно

4. Законы распределения дискретных случайных величин

4.1. Схема повторных испытаний. Биномиальное распределение

Пример 4.1. Монета подбрасывается 4 раза, пусть X – число появившихся гербов.

Пример 4.2. Известно, что в определенном городе 30 % горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 8 человек. Пусть Y – число людей в выборке, предпочитающих личный автотранспорт.

Пример 4.3. Известно, что 15 % деталей, произведенных автоматом, – бракованные. В порядке случайного отбора взято 12 деталей. Пусть Z – число дефектных деталей.

В примерах X, Y, Z – дискретные случайные величин, подчиняющиеся биномиальному распределению. Биномиальное распределение базируется на эксперименте, состоящем в последовательности испытаний Бернулли (схеме повторных испытаний).

Испытания Бернулли – это последовательность n идентичных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Каждое испытание имеет два исхода: успех и неуспех – взаимно несовместные и противоположные события.

2 Вероятность успеха р остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха q = 1–р.

3. Все п испытаний – независимы. Вероятность наступления события в любом из испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Успех и неуспех – статистические термины. Например, когда имеют дело с производственным процессом, то исход испытания «деталь дефектная» определяют как успех. Успех относится к появлению определенного события – «деталь дефектная», а неуспех относится к непоявлению события. Определим случайную величину как биномиальную, если для нее мы рассчитываем число успехов и неуспехов в последовательности п испытаний Бернулли.

Случайная величина, для которой вычисляется число успехов в n повторных испытаниях, где р – вероятность успеха в любом из заданных испытаний, a q = (1–р) – соответствующая вероятность неуспеха, подчиняется закону биномиального распределения с параметрами n и р.

В примере 4.1 п = 4, р = 0,5 – параметры биномиального распределения случайной величины X. Последовательные подбрасывания монеты – независимые эксперименты; исходы – «цифра» или «герб» (успех – неуспех) и вероятности их выпадения постоянны от испытания к испытанию.

В примере 4.2 п = 8, р = 0,3 – параметры биномиального распределения случайной величины Y. Заметим, что случайная выборка из большой генеральной совокупности предполагает независимость испытаний. Мы полагаем, что число людей в городе (генеральная совокупность) намного больше, чем число испытаний, и случайный отбор небольшого числа людей не влияет на ту часть оставшихся горожан, которые предпочитают добираться до работы на личном транспорте (события «предпочитают личный транспорт» для любых отобранных горожан – независимы). Если в генеральной совокупности только 10 человек, трое из которых предпочитают личный транспорт, то ситуация меняется. Вероятность того, что следующий отобранный горожанин предпочтет также личный транспорт, составит уже только 2/9 » 0,22 или 3/9 » 0,33 в зависимости от того, предпочитает ли он личный транспорт или нет. В этом случае условия 2 и 3 испытаний Бернулли будут нарушены и Y не будет биномиальной случайной величиной. Чем больше объем генеральной совокупности в сравнении с выборкой, тем менее серьезно нарушение условий 2 и 3. На практике пользуются правилом: если N/п > 10 (N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки), то можно предположить независимость исходов.

В примере 4.3 Z подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 12, р = 0,15. Полагаем, что автомат произвел большое количество деталей, выборка выполнена случайным образом из большого числа сходных деталей по наличию или отсутствию дефектов.

4.2.  Формула Бернулли. Биномиальные вероятности

Вычислим вероятности значений случайной величины, подчиняющиеся закону биномиального распределения.

При четырех подбрасываниях монеты случайная величина X, определяющая число выпадений герба, принимает возможные значения Xi = 0; 1; 2; 3; 4. Рассмотрим определенное событие, когда X = 2. Это событие состоит в том, что при четырех подбрасываниях монеты 2 раза выпадет герб. Определим вероятность Р(Х = 2). Для этого подсчитаем, сколькими способами может осуществиться данное подбрасывание.

При четырех бросаниях монеты герб появится два раза в одной из следующих шести последовательностей: ГГЦЦ, ГЦГЦ, ГЦЦГ, ЦГГЦ, ЦГЦГ, ЦЦГГ. Исходя из независимости четырех испытаний вероятность определенной последовательности, скажем ЦЦГГ, есть ppqq. Порядок появления цифры или герба не влияет на вероятность. Вероятность р2q2 – вероятность для любой из шести перечисленных комбинаций. Поскольку все шесть возможных комбинаций ведут к событию Х = 2, то умножим результат на шесть и получим 6р2q2. Для идеальной монеты р = q = 0,5; отсюда P(X = 2) = 6(0,5)4 = 0,375. Точно так же можно вычислить другие вероятности Р(Х = 0), Р(Х = 1), Р(Х = 3), Р(Х = 4). процедуру вычисления вероятности появлений некоторого события точно т раз в n последовательных испытаниях, удовлетворяющую условиям повторных испытаний, удобнее обобщить при помощи специальной формулы. Отметим следующее

1. Вероятность любой заданной последовательности, в которой событие появляется т раз и в n испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании р и с вероятностью неуспеха q, равна pmqn–m. Заметим, что для опыта с подбрасыванием монеты при р = q = = 0,5, n = 4 и т = 2, получим P(X = 2) = (0,5)2(0,5)2 = (0,5)4.

2. Число различных комбинаций в испытаниях, в результате которых наступит точно т успехов, равно числу сочетаний из n элементов по т элементов в каждом Сnm = Anm/Pm = n!/[m!(n–m)!].

Для примера 4.1 с подбрасыванием монеты Сnm = 4∙3/(1∙2) = 6. Этот результат совпадает с полученным путем непосредственного подсчета.

3. Поскольку существует Сnm комбинаций и каждая комбинация имеет вероятность рmqn-m, то вероятность т успехов в n испытаниях есть результат двух описанных выше действий. Будем использовать символ Рп, т для обозначения вероятности Р(Х = т) в n испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании р:

Р(Х = т) = Рп, т = Сnmрmqn-m = (4.1)

где q = 1– p; n – число испытаний; m – число успешных испытаний, а формула (4.1) называется формулой Бернулли.

4.3. Биномиальный закон распределения

В формуле (4.1) т может принимать значения от 0 до n. Подставим m = 0; 1; 2; ...; n в формулу (4.1):

(q + p)п = qn + nрqn–1 + Сn2р2qп–2 +...+ Сnk рkqп–k +…+ nрn–1q + рn. (4.2)

Так как (q + р) = 1, то Рn,0 + Рп,1 +...+ Рп, m = 1 (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Биномиальное распределение

Число успехов, m	Вероятность, P(n, m)
0	Сn0 р0qп
1	Сn1 р1qп–1
2	Сn2 р2qп--2
3	Сn3 р3qп–3
…	…
k	Сnk рkqп–k
…	…
n	Сnn рnq0
	1,00

В табл. 4.2 представлены биномиальные вероятности случайной величины X для примера 4.1, рассчитанные при помощи формулы (4.1).

Таблица 4.2

Биномиальное распределение X – числа гербов, появляющихся

при четырех подбрасываниях монеты

X = m	0	1	2	3	4
P(x) = P4,m	0,0625	0,2500	0,375	0,2500	0,0625

С увеличением числа испытаний расчет вероятностей по формуле (4.1) становится все более громоздким. Существуют специальные таблицы, в которых табулированы значения вероятностей биномиального распределения для различных п и р. Иногда в литературе предлагаются таблицы, в которых табулированы значения интегральной функции 1–F(x) = Р(Х ≥ х). Табл. 4.3 воспроизводит значения функции при п = 4. Найдем кумулятивную вероятность, которой соответствует распределение, представленное в табл. 4.2. Заметим, что для p = 0,5

т. е. в общем виде

Р(Х) = F(x) – F(x–

Вероятность, равная 0,3750, корреспондирует с вероятностью при т = 2 в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Фрагмент таблицы F(x) = Р(Х ≤ х) биномиального распределения

т	0	1	2	3	4
P(X ≤ x)= = F(x)	0,06250	0,3125 = 0,0625 + + 0,2500	0,6875 = 0,3125 + + 0,3750	0,9375 = 0,6875 + + 0,2500	1,0000 = 0,9375 + + 0,0625

Для случайной величины Y (пример 4.2) найдем вероятности того, что предпочтут личный транспорт: а) 5 человек из 8; б) не более 5 человек; в) не менее 5 человек. По условию р = 0,3. Значит, надо определить P(Х = 5), Р(Х ≤ 5), Р(Х ≥ 5).

Таблица 4.4

Фрагмент таблиц ряда и функции биномиального распределения

Х = т	Р(Х = т) = = Сnm рmqп–m	Р(Х ≤ m) = = F1(x)	Р(Х < х) = = F(x)	Р(Х ≥ x) = = 1–F(x)
0 1 2 3 4	0,058 0,198 0,296 0,254 0,136	0,058 0,256 0,552 0,806 0,942	0 0,058 0,256 0,552 0,806	1 0,942 0,745 0,448 0.194
5	0,047	0,989	0,942	0,058

И тогда P(X = 5) = 0,047; Р(Х ≤ 5) = 0,989; P(X ≥ 5) = 0,058.

4.4. Математическое ожидание, дисперсия и график биномиального распределения

Пусть случайная величина X – число т наступления некоторого события в n независимых испытаниях. Общее число X появлений этого события в испытаниях Xi = т = Х1 + Х2 +...+ Хп, где Xi – число появлений события в i-м испытании (i = 1, 2, ..., п). Так как вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна р (q – вероятность ненаступления события), то для каждой случайной величины Xi имеем распределение вероятностей:

xi	0	1
pi	q	p

Следовательно, М(Х1) = М(Х2) =...= М(Хn); М(Хi) = 0∙q + 1p = p. Из (3.4), получим:

Математическое ожидание случайной величины X (частоты появления события в п независимых испытаниях), подчиняющейся биномиальному распределению, равно произведению числа испытаний п на постоянную вероятность успеха р в каждом отдельном испытании. Следует отметить, что частость (m/n) также можно рассматривать как случайную величину, и тогда

М(т/п) = 1/n∙М(т) = 1/n∙(np) = р. (4.4)

Математическое ожидание частоты биномиального распределения

М(X) = n/p. (4.5)

Аналогично рассуждая, получим D(Xi) = М(Xi2) –М2(Xi) = 02∙q + 12∙p – p2 = p∙(1 – p) = p∙q;

D(X) = σ2 = D(X1) + D(X2) +…+ D(Xn) =D(Xi) = n∙p∙q. (4.6)

Если роль случайной величины играет т/п, то

D(m/n) = 1/п2∙D(m) = 1/n2∙n∙p∙q = p∙q/n. (4.7)

Стандартное отклонение биномиального распределения

σ = . (4.8)

Используя формулы (4.4) и (4.5), найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X – числа появления гербов при четырех подбрасываниях монеты, М(Х) = пр = 4∙0,5 = 2. При достаточно большой серии испытаний по четыре подбрасывания монеты можно ожидать, что в среднем при четырех подбрасываниях монеты выпадет два герба. D(X) = n∙p∙q = 4∙0,5∙0,5 = 1,00, а σ = 1,00.

Пример 4.4. В отдел верхней одежды универмага один за другим входят трое посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? Один из посетителей купит что-либо? Двое из трех вошедших в магазин людей совершат покупку? Все трое купят что-нибудь в отделе?