Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методический комплекс (стр. 2 )

1.1. Алгебра событий. Основые понятия теории множеств

Математическим описанием связей между событиями занимается алгебра событий. Алгебру событий называют алгеброй Буля по имени английского математика Дж. Буля (1815–1864).

Для того чтобы понять смысл вероятности, напомним некоторые понятия теории множеств и операции над множествами.

Множество – это совокупность, набор, коллекция, собрание каких-либо элементов, объединенных по определенному признаку. Число элементов в множестве может быть конечным и бесконечным (например, все числа, лежащие между 0 и 1).

Полное множество Х – набор, содержащий все элементы в заданном контексте.

Пустое множество Ø – набор, не содержащий элементов. Всякое подмножество X есть множество (например, множество А, Ā и Ø). Задав набор А, можно определить его дополнение. Дополнением Ā множества А является набор, содержащий все элементы из полного набора X, которые не являются элементами набора А.

Диаграммы Венна, названные по имени английского логика
Дж. Венна, наглядно представляют операции множеств и связанные с ними соотношения. На диаграммах Венна множество обозначается кругом, эллипсом или другой геометрической фигурой внутри прямоугольника, обозначающего полное множество.

Взаимоотношение между набором А и его дополнением показано на рис. 1.1, а.

Пример 1.1. Пусть полный набор – все студенты института. Определим А – множество студентов, сдавших летнюю сессию только на «отлично». Дополнение А есть – множество студентов неотличников. В сумме А и – все студенты института.

Рассмотрим подмножества А и В внутри полного множества X. Определим пересечение А и В.

Пересечение А и В (обозначается как А∩В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами и А и В (см. рис. 1.1, б).

Объединение А и В (обозначается АВ) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе (см. рис. 1.1, в).

Продолжим рассмотрение примера со студентами. Определим В как множество студентов, сдавших зимнюю сессию на «отлично». Тогда пересечение А и В – подмножество студентов, сдавших на «отлично» и летнюю, и зимнюю сессии.

Рис. 1.1. Диаграммы Венна

Объединение А и В – подмножество студентов, которые сдали на «отлично» или летнюю, или зимнюю, или обе сессии.

Два набора могут не иметь пересечения. В этом случае мы говорим, что пересечение А и В есть пустое множество (см. рис. 1.1, г). В примере с успеваемостью студентов подмножество студентов, получивших двойки в летнюю сессию, не пересекается с подмножеством отличников.

1.2. Основные определения: испытание, событие. Классификация событий

Опыт (эксперимент, испытание) – это ситуация с более чем од­ним возможным исходом, из которых всегда имеет место точно одно так называемое элементарное событие. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения.

Извлечение карты из колоды – эксперимент. Один из исходов эксперимента – извлечение дамы бубен. Бубновую даму можно извлечь из колоды, содержащей 36 карт и 52 карты. Число карт – условие испытания.

Единичный, отдельный исход эксперимента называется элементарным событием. Набор всех элементарных событий – пространство событий (множество).

Извлечение любой карты из колоды – элементарное событие. Полному набору событий соответствует полное множество X, относящееся к заданному эксперименту. Полный набор событий – набор всех возможных исходов эксперимента. Элементарному событию соответствует только одна точка пространства событий. Аналогом элементарного события является элемент множества.

Теория вероятностей изучает случайные события. Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого эксперимента (далее будем опускать термин «случайный»).

Событие – это любое подмножество пространства событий, набор элементарных исходов. В диаграммах Венна событию соответствует подмножество элементарных событий. Событие произошло, если в результате эксперимента произошло элементарное событие, принадлежащее этому поднабору. Например, элементарные события – «туз конкретной масти» – благоприятствуют случайному событию «туз».

События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, Е, F и т. д. События можно классифицировать.

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания (подброшенный камень обязательно упадет на Землю вследствие действия закона притяжения). Достоверные события условимся обозначать символом Ω.

Невозможное событие – это событие, которое не может произойти в результате данного опыта (извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное). Невозможное событие обозначим Ø.

Достоверные и невозможные события не являются случайными.

Совместные события – несколько событий называют совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других. (в магазин вошел покупатель. События «в магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «в магазин вошла женщина» – совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.)

Несовместные события – несколько событий называют несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других (выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы как результат одной партии – три несовместных события).

События называют единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет. Некоторая фирма рекламирует свой товар по радио и в газете. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «потребитель услышал о товаре по радио», «потребитель прочитал о товаре в газете», «потребитель получил информацию о товаре по радио и из газеты», «потребитель не слышал о товаре по радио и не читал газеты». Это четыре единственно возможных события.

Несколько событий называют равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большей возможности появления, чем другие (при бросании игральной кости выпадение каждой из ее граней – события равновозможные).

Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными (купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные).

Полная группа событий – совокупность всех единственно возможных и несовместных событий.

Полную группу можно определить так: если = Ω и Аi∩Аj = Ø для любой пары , тогда {A1, A2, ..., Аn} – полная группа событий.

1.3. Классическое определение вероятности. Свойства, вытекающие из этого определения

Игровые модели дают хорошие примеры вероятностей и иллюстрируют методы оценки вероятностей. азартные игры обычно включают механические схемы – кости, карты, рулетку. Если предположить отсутствие мошенничества, то эти «механические схемы» имеют тенденцию выдавать набор выходных результатов, которые равновозможны, что позволяет вычислять вероятность выигрыша в игре.

Пример 1.2. Предположим, подбрасывают кость и выигрывают, если появляется 1 или 2. каковы шансы на выигрыш?

Решение. Так как существует шесть равновозможных чисел и выигрыш наступает, если появится любой из двух исходов (двух чисел), то вероятность выигрыша вычисляется как отношение двух выигрышных шансов к шести возможным и будет равна 2/6.

Объективная вероятность, классическая вероятность – вероятность, базирующаяся на симметричной игре шансов или одинаковых ситуациях и исходящая из того, что определенные явления бывают равновозможными (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 в честной игре в кости имеют равную возможность появления).

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов – N, тогда

Р(А) =, (1.1)

где М – целое неотрицательное число; 0 ≤ М ≤ N.

Другой тип вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Если, к примеру, некоторая фирма в течение определенного времени провела опрос 1000 покупателей о новом сорте напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток, как 20/1000 = 0,02. В этом примере 20 – частота наступления события, а 20/1000 = 0,02 – относительная частота.

Относительная частота события – отношение числа испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний п:

ω(A) = , (1.2)

где m – целое неотрицательное число; 0 ≤ m ≤ п.

Чем же отличается относительная частота от вероятности? Относительная частота – результат многократных испытаний. С увеличением числа испытаний относительная частота проявляет тенденцию стабилизироваться, проявляет устойчивость, а именно приближается с затухающими отклонениями к постоянному числу, называемому статистической вероятностью. В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А). Следовательно,

(1.3)

Но, как мы уже видели в приведенных примерах, статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т. е. Р*(А) ≈ ≈ Р(А).

Для определения вероятности выпадения «1» или «2» при подбрасывании кости нам необходимо знать только «модель игры», в данном случае – кость с шестью гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости – это априорная вероятность (т. е. вероятность до опыта). Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это апостериорная (после опыта) вероятность. Таким образом, классическая вероятность – априорная, а статистическая – апостериорная.

Пример 1.3. Аналитик следит за движением йен на акции фирмы IBM в определенном промежутке времени и желает оценить вероятность того, что акции поднимутся в цене на следующей неделе. У аналитика нет столь ясного набора равновероятных исходов, где «акции компании IBM поднимутся в цене на следующей неделе», – есть один из заданного числа исходов этих равновероятных возможностей. Следовательно, аналитическое оценивание вероятностей наступления события будет субъективным, основанным на его собственных оценках вероятности.

Субъективная вероятность включает индивидуальные сужде-ния, информацию, интуицию и другие критерии. Субъективная вероятность одного эксперта может существенно отличаться от субъективной вероятности другого при оценке одного и того же события.

Какой бы вид вероятности ни был выбран, для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения:

1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. Р(Ω) = 1. Действительно, если событие А = Ω, то М = N, значит, P(Ω) = = 1.

2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е. Р(Ø) = 0. Если А = Ø, то оно не осуществится ни при одном испытании, т. е. М = 0 и Р(Ø) = = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. В самом деле, так как 0 ≤ М ≤ N, то 0 ≤ М // 0 ≤ 1, т. е. 0 ≤ P(A) ≤ 1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е.

Р(А) + Р(Ā) = 1, Р(Ā) = (N – M) / N = 1 – M/N = 1– Р(А),

а отсюда

Р(А) + Р(Ā) =

Например, если вероятность извлечения туза равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна 1–4/52 = 48/52.

Чем больше значение вероятности внутри интервала от 0 до 1, тем более мы уверены в наступлении случайного события. Неформальную интерпретацию вероятности наступления случайного события иллюстрирует рис. 1.2.

В обыденной жизни мы часто употребляем термин «вероятность» в менее формальном значении. Так, люди часто оценивают шансы. Если шансы 1 к 1, то вероятность равна 1/2; если шансы 1 к 2, то вероятность равна 1/3, и т. д. Люди также иногда говорят: «Вероятность равна 30 %». Следует избегать подобных определений и всегда иметь дело с вероятностью как с числом между 0 и 1. Такая интерпретация гораздо яснее.

Значение вероятности

 

0,00–0,25	0,25–0,5	0,5	0,5–0,75	0,75–1,00
Событие скорее всего не произойдет	Событие скорее всего не произойдет, чем произойдет	Событие имеет одинаковую вероятность произойти и не произойти	Событие скорее всего произойдет, чем не произойдет	Событие скорее всего произойдет

Рис. 1.2. Интерпретация наступления случайного события

Алгоритм решения задач по определению вероятности события:

1.  Определить состав эксперимента.

2.  Определить элементарные события в данном опыте.

3.  Определить полную группу событий, найти число элементарных событий, составляющих полную группу событий.

4.  Определить интересующее нас событие, найти число элементарных событий, составляющих интересующее нас событие.

5.  Найти вероятность события по формуле (1.1).

Пример 1.4. Монета подбрасывается три раза, найти вероятность того, что при этом (безразлично, в каком порядке) выпадет два раза герб и один раз цифра.

Решение:

1. Опыт (испытание, эксперимент) состоит в трехкратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании трех монет).

2. Элементарным событием является любое сочетание последовательности выпадений сторон на трех подбрасываемых монетах.

3.  U = {ггг, ццц, гцг, ццг, ггц, цгц, цгг, гцц}, N = 8.

4.  Событие А – «выпадение двух гербов и одной цифры», M = 3.

5.  P(A) = M/N = 3/8 = 0,375.

1.4. Основные теоремы теории вероятностей

■ Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

или P(A B) + P(A) + P(B) – P(A∩B). (1.5)

Сумму событий А + В называют событием, состоящим в появлении события А, или события В, или обоих событий А и В.

Смысл правила (1.5) очень прост и понятен интуитивно: когда мы складываем вероятности событий А, В, то измеряем, или взвешиваем, вероятность их пересечения дважды – первый раз, когда измеряем относительный размер события А внутри пространства событий, и еще раз, когда делаем то же самое с событием В. Отсюда, поскольку относительный размер, или вероятность пересечения двух наборов, взвешивается дважды, мы вычитаем одно из них и, следовательно, получаем истинную вероятность объединения двух событий.

Пример 1.5. Определим, чему равна вероятность извлечения либо карты масти «трефы», либо карты масти «бубны». Обозначив С «извлечение карты бубновой масти», получим

P(B + С) = P(BC) = P(B) + Р(C) = 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2.

Мы не должны вычитать вероятность пересечения этих событий, поскольку нет карт, имеющих масти «трефы» и «бубны» одновременно.

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий, т. е.

P(A1 + A2+ … + An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+ P(An)

или

. (1.6)

В случае нескольких совместных событий по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий необходимо исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Три совместных события

Для случая трех совместных событий можно записать:

Р(A + В + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).

Сумма вероятностей событий A1, A2,…, An, образующих полную группу, равна 1:

P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+ P(An) = (1.7)

В самом деле, так как события A1, A2,…, An образуют полную группу, т. е. они единственно возможные и попарно несовместные, то появление одного из них есть событие достоверное, т. е. А1+А2+…+
+ Аn = Ω, тогда

Р(А1 + А2 +...+ Аn) = P(А1) + P(А2) + P(А3) +…+ P(Аn) = P(Ω) = 1.

1.5. Зависимые и независимые события

Рассмотрим пример с двумя событиями. Пусть событие А – «извлечение короля», В – «извлечение карты с картинкой». Тогда вероятность появления короля равна 4/52, а вероятность появления короля, если извлеченная карта – картинка, равна 4/16.

Другой пример. В урне два белых и три черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара при первом извлечении из урны? При втором извлечении из урны? Здесь возможны два случая.

Первый случай. Схема возвращенного шара, т. е. шар после первого испытания возвращается в урну.

Пусть событие А – «появление белого шара при первом испытании». Так как N = 5, а М = 2, то Р(А) = 2/5.

Пусть событие В – «появление белого шара при втором извлечении». Так как шар после первого испытания возвратился в урну, то N = 5, а М = 2 и Р(В) = 2/5.

Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. События А и В в этом случае называются независимыми. Итак, события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий называются безусловными.

Второй случай. Схема невозвращенного шара, т. е. шар после первого испытания в урну не возвращается.

Вероятность появления белого шара при первом испытании Р(А) = 2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались один белый и три черных шара. Чему равна вероятность события В при условии, что событие А произошло? N = 4, М = 1.

Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)A или РA(В). Итак, Р(В/А) = 1/4 называют условной вероятностью, а события А и В – зависимыми. В предыдущем примере с картами Р(А) = 4/52; Р(А/В) = 4/16.

Итак, события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью. Очевидно, что если два события А и В независимые, то справедливы равенства:

Р(В) = Р(В/А), Р(А) = Р(А/В), или Р(В/А) – Р(В) = 0.

■ Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(А·В) = Р(А∩В) = Р(В)∙Р(А/В) = Р(A)∙Р(B/A). (1.8)

Произведением событий А и В называют событие, состоящее в одновременном появлении и события А, и события В.

Доказательство. Проиллюстрируем понятие условной вероятности для случая равновозможных элементарных исходов, где применимо классическое определение вероятности. Пусть даны два события А, В, такие, что Р(А) ≠ 0 и P(B) ≠ 0, и пусть из всех возможных N исходов событию А благоприятствуют М исходов, событию В благоприятствуют К исходов, событию А и В благоприятствуют L исходов. Вероятности событий А, В, А·В соответственно равны Р(А) = M/N, Р(В) = K/N, Р(А·В) = L/N.

Подсчитаем условную вероятность события В/А. Событию В/А будут благоприятствовать L исходов из М исходов. Тогда Р(В/А) = L/M. Разделим числитель и знаменатель дроби на N и получим

, (1.9)

где Р(А) ≠ 0.

Вероятность наступления события В, вычисленная при усло­вии, что событие А уже произошло, равна вероятности пересечения событий А и В, деленной на вероятность события А. Из формулы (1.10) следует (1.9).

Пример. Проиллюстрируем формулу (1.9). Предположим, мы подбросили игральную кость. Пусть событие А – «появилось число 6». Мы знаем, что Р(А) = 1/6. Предположим, мы не знаем, какое именно число выпало при подбрасывании, но знаем, что оно четное (событие Е). Информация о событии Е уменьшает наше пространство событий, изменяет вероятность появления события А.

Пространство событий (полная группа событий) для первоначального события А выглядит как набор точек от 1 до 6. Пространство событий, корреспондирующее с событием В, уменьшилось сразу в два раза. Новое пространство имеет три равновозможные точки, отсюда вероятность выпадения «6» при условии, что выпавшее число – четное, возрастает от 1/6 до 1/3. Этот пример хорошо показывает обоснованность принятого определения вероятности. Из уравнения (1.9) имеем P(A/E) = P(A∩E) / P(E) = (1/6) / (1/2) = 1/3.

Полученный результат согласуется с тем, что мы поняли из рассмотренного примера, когда уменьшали пространство событий до трех точек.

Пример 1.6. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А (событие А) равна 0,45. По предположению экспертов, если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность получения консультационной фирмой обоих заказов?

Решение. Согласно условиям Р(А) = 0,45, Р(В/А) = 0,9.

Необходимо найти P(A·B), которая является вероятностью того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут. Из формулы (1.8) имеем:

Р(А·В) = Р(А)∙Р(В/А) = 0,45∙0,9 = 0,405.

Пример 1.7. В большой рекламной фирме 21 % работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40 % работников фирмы – женщины, а 6.4 % работников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Решение. Сформулируем решение этой задачи в терминах теории вероятностей и спросим: «Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?». Определим событие А – «случайно выбранный работник имеет высокую зарплату», событие В – «случайно выбранный работник – женщина», тогда:

Р(А/В) = P(A·B)/P(B) = 0,064/0,40 = 0,16.

Поскольку 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами. Если события А и В – независимы, то имеет место следующая теорема. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

Р(А·В) = Р(A∩В) = P(A)·P(B). (1.10)

■ Независимость событий в совокупности. Если несколько событий попарно независимы, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. Поэтому введем понятие независимых событий в совокупности.

События А1, А2,..., Аn (п > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных. Распространим теоремы умножения на случай п независимых и зависимых в совокупности событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1·A2·A3·…·An) = P(А1)· P(A2)·P(A3)·…·P(An). (1.11)

Вероятность совместного наступления конечного числа зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:

P(A1·A2·A3·…·An) = P(А1)·P(A2/A1)·P(A3/A1·A2)·…·P(An/A1·A2·A3·…·An–

Пример 1.8. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов про­граммы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.

Решение. Определим следующие события: А – «студент знает все три вопроса»; A1 – «студент знает первый вопрос»; А2 – «студент знает второй вопрос»; А3 – «студент знает третий вопрос». События A1, А2, А3 – зависимые:

P(A) = P(А1)·P(A2/A1)·P(A3/A1·A2) = (20/25) ·(19/24)·(18/23) = 57/115 = 0,496.

Пример 1.9. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события – независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы?

Решение. Поскольку оба события независимы, то вероятность пересечения двух событий (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде) есть

Р(АB) = Р(А)·Р(В) = 0,04·0,06 = 0,0024.

Вероятность появления хотя бы одного события из п независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным:

. (1.13)

Доказательство. Пусть A1, A2,…, An – события независимые в совокупности, а – противоположные им события и тоже независимые в совокупности. Обозначим событием А «наступление хотя бы одного из событий A1, A2,…, An». Рассмотрим событие (). Оно является противоположным событием по отношению к А. Следовательно,

Отсюда

.

Если обозначить P(A1) = р1, Р(А2) = р2, ..., Р(Аn) = рn; то P(A) = 1 – q1·q2…·qn. Если события А1, А2,..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна: P(A) = 1 – qn.

Если события A1 А2, ..., Аn – зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:

Возвратимся к условию примера 1.9, определим вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу.

Решение. Пусть событие С – «потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Это значит, что потребитель увидит рекламу или по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По правилу определения вероятности объединения (суммы) двух событий находим:

P(С) = Р(А + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,04 + 0,06–0,0024 = 0,0976.

По теореме о вероятности наступления хотя бы одного из и независимых событий P(C) = = 1 – 0,96·0,94 = 0,0976.

Вычисление вероятностей событий такого типа характеризует эффективность рекламы. Эта вероятность может означать долю (процент) населения, охватываемого рекламой с разной частотой, и отсюда следует оценка рекламных усилий.

2. Формула полной вероятности и формула Бейеса

2.1. Формула полной вероятности

Рассмотрим два события А и Н. Каковы бы ни были взаимоотношения между событиями А и Н, всегда можно сказать, что вероятность события А равна вероятности пересечения событий А и Н плюс вероятность пересечения А и дополнения Н (событие ). Поясним сказанное на диаграмме Венна (рис. 2.1). Разложение А на части зависит от и .