Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методический комплекс (стр. 6 )

Решение. Проверим задачу на соответствие условиям биномиального эксперимента.

1. Эксперимент описан как последовательность трех идентичных испытаний – по одному испытанию для каждого из трех посетителей, входящих в универмаг.

2. Два исхода – посетитель совершает покупку (успех) или не совершает покупку (неуспех) – возможны для каждого отдельного испытания.

3. Вероятность каждой покупки равна 0,3, вероятность непокупки – 0,7.

4. Решение о покупке для каждого из покупателей не зависит от решений других покупателей.

Рассчитаем вероятности биномиального распределения, применяя формулу (4.1), и результаты представим в виде таблицы (табл. 4.5).

Таблица 45

Биномиальное распределение числа покупателей

m = xi	Pn, m = pi	xipi	xi2pI
0 1 2 3	0,343 0,441 0,189 0,027	0 0,441 0,378 0,081	0 0,441 0,756 0,2643
	1	0,9

Математическое ожидание биномиального распределения проще вычислить по формуле (4.4) М(Х) = пр = 3∙0,3 = 0,9. Дисперсия σ2 = D(X) = = npq =3∙0,3∙0,7 = 0,63. Построим график распределения (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Графическое представление биномиального

распределения

При m = l (см. рис. 4.1) вероятность достигает максимального значения. Вероятнейшей частотой наступления события называется та частота, при которой вероятность достигает своего наибольшего значения и обозначается m0. Для определения наивероятнейшего числа используем формулу:

пp – q ≤ m0 ≤ np + p. (4.9)

В этом неравенстве т0 может быть только целым числом. Если пр – целое число, то m0 = пр.

Пример 4.5. Вероятность того, что выписанный продавцом чек будет оплачен, равна 0,9. Какое наивероятнейшее число чеков будет оплачено, если выписано 40 чеков?

Решение. Находим произведение пр = 40∙0,9 = 36 (целое число), значит, т0 = 36. Найдем т0 по формуле (4.9) 40∙0,9–0,1 ≤ т0 ≤ 40∙0,9 + + 0,9; 35,9 ≤ m0 ≥ 36.9. Этому двойному неравенству удовлетворяет целое число т0 = 36.

4.5. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона (закон распределения редких событий) часто используется тогда, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства (число машин, прибывших на автомойку в течение часа, число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 км, число мест утечки воды на 100 км водопровода, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествии).

Если вероятность появления события А в п отдельных независимых испытаниях очень мала (р < q), то применяется формула Пуассона:

(4.10)

где λ = пр; п – число независимых испытаний с постоянной малой вероятностью р; е – основание натурального логарифма (е = 2,71828); т – число появлений события (т = 0, 1, 2, 3, ...).

При помощи формулы (4.10) можно записать закон распределения Пуассона. Его можно написать в виде ряда распределения (табл. 4.6), если, придавая m целые неотрицательные значения т = 0, 1, 2,..., n, вычислить соответствующие им вероятности Рn, т.

Таблица 4.6

Закон распределения Пуассона

т	0	1	2	3	…	k	…	n
Рn,т	e–λ	λe–λ	λ2e–λ/2!	λ3e–λ/3!	…	λke–λ/k!	…	λne–λ/n!

Закон распределения Пуассона можно записать в виде функции распределения: λke–λ/k!

F(X) = P(m < x) = Рn, т = λm/k! e–λ, (4.11)

где знак означает сумму вероятностей Рп, т для всех т, меньших п.

Применяя формулу (4.11), можно определить вероятность появления события хотя бы один раз в п независимых испытаниях. Поскольку вероятности Рп, т ≥ 1 и Рп,0 есть вероятности противоположных событий, то

(4.12)

По формуле (4.12) вычисляются вероятности появления события хотя бы один раз в п независимых испытаниях, если вероятность появления события в отдельных испытаниях постоянна и очень мала, а число испытаний достаточно велико (n ≥ 20), т. е. при условии применимости формулы Пуассона (4.10).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ, который определяет этот закон, т. е.

M(Х) = D(Х) = λ. (4.13)

Формула (4.13) устанавливает важный теоретико-вероятностный смысл параметра λ. Последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени, называется потоком событий (например, вызов на АТС).

При этом должны выполняться следующие условия.

Вероятность появления события одна и та же для любых двух интервалов равной длины.

Вероятность того, что событие появится в короткий интервал времени (или пространства), пропорциональна величине интервала.

В очень коротком интервале вероятность того, что два события появятся, близка к нулю.

Вероятность того, что любое число событий появится в интервале, не зависит от начала интервала.

Появление или непоявление события в определенном интервале не зависит от появления или непоявления события в любом другом интервале.

Пример 4.6. Предположим, нас интересует число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 мин. Если мы предположим, что вероятность прибытия автомобиля одинакова в любые два периода времени равной длины и что прибытие или неприбытие автомобиля в любой период времени не зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период времени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может быть описана распределением Пуассона.

Анализ предыдущих данных показал, что среднее число инкассаторов, прибывающих в 15-минутный период, равно 10, тогда при λ = 10 получаем: Р(т) = λme–λ/m! = 10me–10/m! при т = 0, 1, 2, .…

Если мы хотим узнать вероятность прибытия пяти инкассаторов в течение 15 мин, то при m = 5 получим: Р(5) = 105e–10/5! = 0,0378.

Вероятности распределения Пуассона легче рассчитать, пользуясь специальными таблицами вероятностей распределения Пуассона. В них содержатся значения вероятностей при заданных т и λ.

Пример 4.7. Предположим, нас интересует число дефектов, появившихся на определенном участке шоссе через месяц после его асфальтирования. Мы предполагаем, что вероятность появления дефектов одна и та же на любых двух участках равной длины и что появление или непоявление дефектов на любом промежутке шоссе не зависит от появления дефектов на любом другом участке. Следовательно, для решения задачи можно использовать распределение Пуассона.

Предположим, мы выяснили, что количество дефектов спустя месяц после асфальтирования в среднем равно двум на километр. Найдем вероятность того, что на определенном участке шоссе длиной в 3 км мы не найдем ни одного дефекта спустя месяц после асфальтирования. Поскольку нас интересует интервал длиной в 3 км, то λ = = (2 деф/км)·(3 км) = 6.

Это – ожидаемое число дефектов на трехкилометровом участке шоссе. Отсюда, используя формулу (4.10) или таблицы распределения Пуассона с λ = 6 и т = 0, получаем, что вероятность отсутствия
дефектов на трех километрах дороги равна 0,0025. Результат говорит о том, что отсутствие дефектов на изучаемом участке дороги весьма маловероятно. Вероятность того, что хотя бы один дефект появится на трех километрах вновь асфальтированной дороги, равна 1–0,0025 = 0,9975.

Рассмотрим пример, в котором вероятности будут вычислены точно по формуле Бернулли (4.1) и приближенно по формуле Пуассона (4.10).

Пример 4.8. Проведено 25 независимых испытаний с вероятностью появления события А в каждом из них 0,01. Построим ряд распределения для случайной величины Х = т – числа появлений события А. Вероятность Рn, m вычисляем двумя способами: по формуле Бернулли и по формуле Пуассона. Полученные результаты сравним и оценим погрешности приближенной формулы. По условию п = 25; р = 0,01; q = 0,99. Вычислим Рn, m и сведем их в табл. 4.7.

Таблица 4.7

Сравнение вероятностей, полученных по формулам

Бернулли и Пуассона

m	0	1	2	3	4	5	6
Рn, m=Cnmpmqn–m	0,778	0,196	0,024	0,002	0,000	0,000	0,000
	0,779	0,195	0,022	0,001	0,000	0,000	0,000
|∆|	0,001	0,001	0,002	0,001	0,000	0,000	0,000

Сопоставление вероятностей показывает, что рассчитанные по формуле Пуассона вероятности почти совпадают с их значениями, вычисленными по формуле Бернулли. Максимальная погрешность результатов, вычисленных по формуле Пуассона, равна 0,002.

4.6. Гипергеометрическое распределение

Выше мы рассмотрели способы вычисления вероятностей появления события ровно т раз в п независимых повторных испытаниях (по формулам Бернулли и Пуассона). Теперь познакомимся с вычислением вероятности появления события ровно т раз в п зависимых повторных испытаниях. Случайная величина, определяющая число успехов в п повторных зависимых испытаниях, подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Пример 4.9. В урне N шаров, среди которых К белых и (N–K) черных. Без возвращения извлечены п шаров. Определим вероятность того, что в выборке из п шаров окажется т белых (и соответственно n–m черных) шаров. Изобразим ситуацию на схеме:

Случайная величина, интересующая нас, X = т – число белых шаров в выборке объемом в п шаров. Число всех возможных случаев отбора п шаров из N равно числу сочетаний из N по n (CNn), а число случаев отбора т белых шаров из имеющихся К белых шаров (и значит, п–m черных шаров из N–K имеющихся черных) равно произведению CKmCN–Kn–m (отбор каждого из т белых шаров может сочетаться с отбором любого из n–т черных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из п шаров окажется ровно т белых шаров. По формуле для вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке т белых шаров (т. е. вероятность того, что случайная величина X примет значение т) равна

, (4.14)

где CNn – обшее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов, CKmCN–Kn–m – число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию.

Итак, вероятность появления интересующего нас события ровно т раз в п зависимых испытаниях вычисляется по формуле (4.14), которая задает значения гипергеометрического закона распределения для т = 0, 1, 2,..., п (табл. 4.8).

Таблица 4.8

Гипергеометрический закон распределения

т	0	1	2	…	n
Р(X=m)	CK0CN–k n/ CNn	CK1CN–Kn–1/ CNn	CK2CN–Kn–2/ CNn	…	CKmCN–K0/ CNn

M(т) = nq, (4.15)

D(m) = nq (1–q)[1– (n–1)/(N–1)], (4.16)

где q – доля единиц с интересующим нас признаком в совокупности N, т. е. q = K/N, а 1–(n–1)/(N–1) называется поправкой для бесповторной выборки.

Пример 4.10. Разыгрывается тираж выигрышного денежного займа, в котором выпушено N облигаций, из которых К – выигрышные. Некто приобрел п облигаций. Найдем вероятность того, что т из них – выигрышные.

Рассуждая в соответствии с изложенной схемой, по формуле (4.14) получим интересующую покупателя облигаций вероятность выигрыша.

Пример 4.11. Автомобили поступают в торговый салон с завода партиями по 10 штук. По соглашению сторон для экономии времени и ресурсов в торговом салоне подвергаются контролю качества и безопасности только 5 из 10 поступающих автомобилей. Обычно 2 из 10 поступивших машин не удовлетворяют стандартам качества. Определим, чему равна вероятность того, что хотя бы одна из 5 проверяемых машин будет забракована.

Решение. Здесь имеет место выборка без возвращения, следовательно, случайная величина – число бракованных автомобилей – подчиняется гипергеометрическому распределению: N = 10, К = 2,
N–К = 8 и n = 5, т = 1, 2.

 

Р10,1 = C21C84/C105 = 0,5556,

2 5 8

Р10,2 = C22C83/C105 = 0,2222.

1 4

2 3

Р10,1+P10,2 = 0,5556 + 0,2222 = 0,7778.

Пример 4.12. На станцию под погрузку поступило 20 вагонов, среди которых один с дефектом. Из них случайным образом отобраны 2 вагона. Требуется:

1) построить закон распределения числа вагонов с дефектом;

2) построить биномиальное распределение, приняв в качестве постоянной вероятности р = 0,05, а числа испытаний – n = 2.

Решение:

1. По условию задачи N = 20, К = 1, п = 2. Случайная величина – число вагонов с дефектом т может принимать два значения; 0 и 1. По формуле (4.14) вычислим вероятности этих значений: P2,0 = C10C192/ /C202 = 0,9000; P2,1=C11×C191/C201 = 0,1000. Полученные результаты сведем в табл. 4.9, что и будет гипергеометрическим законом распределения т.

Таблица 4.9

Гипергеометрический закон распределения

т	0	1
P2,m	0,900	0,100

2. По условию задачи n = 2, р = 1/20 = 0,05, q = 0,95, случайная величина т имеет возможные значения: 0, 1, 2. По формуле Бернулли вычислим вероятности Pn, m: P2,0 = C20×0,050×0,952 = 1×1×0,952 = 0,9025, P2,1=C21×0.05×0,95 = 2×0,05×0,95 = 0,0950, P2,2 = C20×0.052×0,950 =1×0,052 = = 0,0025 (табл. 4.10).

Таблица 4.10

Биномиальный закон распределения

т	0	1	2
P2,m	0,9025	0,0950	0,0025

Пример 4.13. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета. Требуется:

1) построить закон распределения числа выигрышных билетов среди отобранных;

2) построить биномиальное распределение выигрышных билетов, для р = 0,2, п = 4;

3) сопоставить результаты решения примеров 4.12 и 4.13.

Решение:

1. По условию задачи N = 20, К = 4, n = 4. По формуле (4.14) вычисляем вероятности Р4,т (т = 0, 1, 2, 3, 4) и строим гипергеометрическое распределение (табл. 4.11):

P4,0 = C40C164/C204 = 0,3756; P4,1 = C41C163/C204 = 0,4623;

P4,2=C42C162/C204 = 0,1486; P4,3 = C43C161/C204 = 0,0132;

P4,4 = C44C160/C204 = 0,0002.

Таблица 4.11

Гипергеометрическое распределение

т	0	1	2	3	4
P4,m	0,3756	0,4623	0,1486	0,0132	0,0002

2. По условию задачи п = 4; за постоянное значение вероятности p принимаем долю выигрышных билетов: р = 4/20 = 0,2; q = 16/20 = 0,8. По формуле Бернулли вычисляем вероятности для всех возможных значений т (0, 1, 2, 3, 4) и строим биномиальный закон распределения (табл. 4.12)