Основы медицинской статистики (стр. 19 )

Наиболее простыми методом определения коэффициента корреляции являются ранговая корреляция: , где - коэффициент ранговой корреляции, d - разность рангов, n –число сопоставляемых пар признаков.

При ранговой корреляции числовые выражения сравниваемых статистических рядов ранжируют, то есть проставляют ранговые номера для каждой цифры (от 1 и далее) и подставляют значения в формулу с учетом разницы порядковых значений.

Рассмотрим технику вычисления коэффициента ранговой корреляции на примере изучения связи между стажем работы (х) и числом травм (у):

Стаж работы в годах	Число травм	Порядковые номера (ранги)	Разность рангов	Квадрат разности рангов
X	Y	d(х-у)	d2
До 1 года	24	1	5	-4	16
1-2	16	2	4	-2	4
3-4	12	3	2,5	+0,5	0,25
5-6	12	4	2,5	+1,5	2,25
7 и более	6	5	1	+4	16
	Σ d2 = 38,5

Коэффициент ранговой корреляции составит:

Статистическая ошибка и критерий достоверности коэффициента корреляции вычисляются по формулам:

= 0.22, t = = 0,925/0,22= 4,2

Чтобы полученный коэффициент можно было считать достоверным, он должен превышать табличное значение (таблица значений критерия t по ) при числе степеней свободы n - 1. В нашем случае величина критерия t (4,2) значительно выше критического значения критерия t (2.7) для уровня значимости р = 0.05 и числа степеней свободы = n−1=4. Зависимость между стажем работы и числом травм по приведенным данным достоверно прослеживается. Вывод: поскольку коэффициент корреляции ρ = -0,925, корреляционная связь обратная, сильная, вероятность безошибочного прогноза выше 95%, следовательно, мы можем утверждать, что с увеличением стажа работы число травм у рабочих уменьшается.

При расчете коэффициента корреляции методом квадратов (метод Пирсона) сначала вычисляют среднее значение в каждом вариационном ряду сравниваемых групп. Затем находят отклонение каждой величины ряда от полученной средней. Для устранения отрицательных значений эти величины возводят в квадрат и подставляют в формулу: rxy = , где dx и dy – отклонение каждой варианты от своей средней арифметической Мх и Мy.

По величине коэффициента устанавливают направление и силу связи. Достоверность коэффициента определяют по таблицам критических значений (таблицам Каминского) при числе степеней свободы n’ = n-2 (приложение, табл. 4), а также при расчете средней ошибки и критерия достоверности t. Коэффициент корреляции должен превышать свою ошибку не менее чем в 3 раза. Формула ошибки коэффициента ранговой корреляции: m = , t = По методу Пирсона ошибка коэффициента корреляции вычисляется по формуле: mr = , t = . Значения t оценивается по таблице критических значений критерия t (при n<30, приложение, табл. 2).

Пример: определим направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью, если известны следующие данные

Жесткость воды (в градусах)	Количество кальция в воде (в мг/л)
4 8 11 27 34 37	28 56 77 191 241 262

Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т. к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант. Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

Жесткость воды (в градусах)	Количество кальция в воде (в мг/л)	dх	dу	dх × dу	dx2	dy2
4 8 11 27 34 37	28 56 77 191 241 262	-16 -12 -9 +7 +14 +16	-114 -86 -66 +48 +98 +120	1824 1032 594 336 1372 1920	256 144 81 49 196 256	12996 7396 4356 2304 9604 14400
Мх=Σ х / n	Му=Σ у / n		Σdх×dу=7078	Σdх2=982	Σdy2=51056
Мх=120/6=20	Мy=852/6=142

1.  Определить средние величины Mx ряду вариант "х" и Му в ряду вариант "у" по формулам: Мх = Σх/n (графа 1) и Му = Σу/n (графа 2).

2.  Найти отклонение (dх и dу) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду "x" и в ряду "у" dх = V — Мх (графа 3) и dy = V — Му (графа 4).

3.  Найти произведение отклонений dx х dy и суммировать их: Σ dх х dу (графа 5).

4.  Каждое отклонение dx и dу возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду "х" и по ряду "у": Σ dx2 = 982 (графа 6) и Σ dy2 = 51056 (графа 7).

5.  Определить произведение Σ dx2 х Σ dy2 и из этого произведения извлечь квадратный корень.

6.  Полученные величины Σ (dx x dy) и √(Σdx2 x Σdy2) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции:

7.  Определить достоверность коэффициента корреляции:

1-й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mrxy) и критерий t по формулам:

Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%.

2-й способ оценки достоверности коэффициента корреляции. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице "Стандартные коэффициенты корреляции, считающиеся достоверными (по )" (приложение, табл. 4). При числе степеней свободы (n — 2) = 6 – 2 = 4 наш расчетный коэффициент корреляции rxу = + 0,99 больше табличного (rтабл = + 0,917 при р = 99%).

Вывод. Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная: rху = + 0,99, р > 99,9%).

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ:

ЗАДАНИЕ 1: Вычислить коэффициент ранговой корреляции, определить направление и силу корреляционной связи, оценить достоверность полученных данных

Задача 1

Существует ли связь между стажем работы на машиностроительном предприятии и показателями заболеваемости рабочих?

Стаж работы	До 1 года	1-3 года	4-5 лет	6-10 лет	11-15 лет	16-20 лет	21-25 лет	26 и более
Число случаев заболеваний на 100 рабочих	59,6	41,9	40,8	64,7	64,7	77,5	83,6	112,8

Задача 2

Существует ли связь между возрастом заболевших гриппом и уровнем смертности от этого заболевания?

Возраст заболевших в годах	До 1 года	1-4	5-9	10-14	15-17	18-20	21-30	31-40	41-50	51-60	61 и старше
Смертность на 100000 человек	68,3	57,7	55,9	24,7	55,9	42,1	67,9	86,6	89,4	106,7	158,2

Задача 3

Существует ли связь между возрастом мужчин и уровнем смертности?

Возраст в годах	0-4	5-9	10-14	15-24	25-34	35-44	45-54	55-64	65 и старше
Уровень смертности на 100000 человек	801,0	272,0	194,7	296,8	624,1	922,8	2624,4	4324,5	9275,1

Задача 4