Высшая математика (стр. 14 )

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда

По определению суммы нескольких векторов находим

.

Так как

то

(2.5)

Используя формулу (2.4), получим

(2.6)

Обозначим

Тогда из равенств (2.5) и (2.6) получаем

(2.7)

Формула (2.7) является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора , то есть координаты вектора – это его проекции на соответствующие координатные оси.

Равенство или означает, что

Модуль вектора (длина вектора) равен квадратному корню из суммы квадратов координат (проекцией) этого векторта

(2.8)

Пусть вектор образует с осями Ox, Oy, Oz углы соответственно. По свойству проекции вектора на ось (2.1), имеем

(2.9)

Или, что то же самое,

(2.10)

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения (2.9) в равенство (2.8) получаем

Сократив на , получим соотношение

или

(2.11)

то есть сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Заметим, что координатами единичного вектора являются числа , то есть .

Пример 6. Известно, что Найти координаты вектора .

Решение. Найдем , для этого воспользуемся равенством (2.11)

Используя равенства (2.9), получаем

.

Таким образом, вектор имеет координаты

Пример 7. Может ли вектор образовывать с осями координат углы, равные соответственно ?

Решение. Воспользуемся равенством (2.11)

Так как , поэтому вектор не может образовывать с осями координат указанные углы.

Если вектор , где , то

Тогда

или

- (2.12)

так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует: если , то

1) тогда и только тогда, когда - равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2) - при сложении векторов соответствующие координаты складываются, при вычитании – вычитаются;

3) - при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

4), то есть или

- (2.13)

координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Пример 8. Даны векторы и . Найти координаты вектора .

Решение. Найдем координаты векторов 4 и 3:

Координаты вектора : .

Пример 9. При каких значениях и векторы и коллинеарны?

Решение. Воспользуемся соотношением (2.13):

Таким образом, при и данные векторы и коллинеарны.

2.5. Деление отрезка в данном отношении

Говорят, что точка М делит отрезок в отношении , если , или