Высшая математика (стр. 7 )

Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений (1.16) называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

(1.19)

Однородная система всегда совместна, так как является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

1.3.2.  Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений (1.16) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы (1.18) равен рангу основной матрицы (1.17), то есть .

Если система (1.16) совместна и

1)  ранг системы равен числу неизвестных (r(A)=n), то система имеет единственное решение;

2)  ранг системы меньше числа неизвестных (r(A)<n), то система имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим второй случай. Пусть r(A)=r<n.Возьмем первые r уравнений системы (1.16) и оставим в левых частях этих уравнений первые r неизвестных, а остальные неизвестные перенесем вправо:

“Свободным” неизвестным можно придать любые значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные . Таким образом можно найти частные и общее решения исходной системы уравнений.

Пример 31. Исследовать на совместность систему

Решение. Определим ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы системы. Для этого выпишем расширенную матрицу системы

Вертикальной чертой отделим элементы основной матрицы от свободных членов системы. Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки

~.

Элементы первой строки, умноженные на (-3), прибавим к элементам третьей строки

~.

Умножим элементы второй строки на (-2) и прибавим к элементам третьей строки

~.

Основная матрица системы А эквивалентна матрице

~.

В полученной матрице одна ненулевая строка, значит ранг матрицы А равен 1, то есть r(A)=1. Расширенная матрица системы эквивалентна матрице ~.

В полученной матрице две ненулевые строки, поэтому .

Так как , тогда согласно теореме Кронекера-Капелли данная система уравнений несовместна.

Пример 32. Исследовать на совместность систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

Поменяем местами первую и вторую строки

~

Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к элементам второй строки

~

Элементы первой строки, умноженные на (-7), прибавим к элементам третьей строки, а элементы второй строки умножим на

~

Умножим элементы третьей строки на , а элементы первой строки, умноженные на (-5), прибавим к элементам четвертой строки

~

Элементы четвертой строки умножим на , а элементы первой строки, умноженные на (-3), прибавим к элементам пятой строки

~

Последовательно выполним следующие действия: умножим элементы второй строки на (-1) и прибавим к элементам третьей и четвертой строк, а затем элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам пятой строки

~

Основная матрица системы эквивалентна матрице

~

в которой две ненулевые строки, поэтому r(A)=2.

Расширенная матрица системы эквивалентна матрице

~

в которой также две ненулевые строки, поэтому .

Так как , система совместна. В данной системе уравнений две неизвестные, то есть r=n , поэтому система уравнений является определенной.

Найдем единственное решение данной системы. Для этого возьмем первые два уравнения системы

Из второго уравнения выразим через и полученное выражение подставим в первое уравнение

Окончательно получим

или

Пример 33. Исследовать систему уравнений

Решение. Определим ранг основной матрицы системы и ранг расширенной матрицы данной системы. Выпишем расширенную матрицу

.

Умножим элементы первой строки на (-1) и прибавим сначала к элементам второй строки, а затем к элементам третьей строки. В результате получим матрицу, эквивалентную матрице

~

Элементы второй строки умножим на , а третьей строки - на