Высшая математика (стр. 22 )

. (2.35)

Если , то . Тогда .

Отсюда , то есть

(или ). (2.36)

Если прямые и заданы общими уравнениями и , где и - нормальные векторы прямых, то

или

(2.37)

Если , то , следовательно

(2.38)

Если , то , то есть

. (2.39)

Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая l задана уравнением и точка , не принадлежащая прямой l. Обозначим через d расстояние от точки до прямой l.

Тогда

. (2.40)

Пример 24. Дано каноническое уравнение прямой . Написать: а) общее уравнение прямой; б)уравнение прямой в отрезках; в)уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Решение. а) Приведем данное уравнение к общему знаменателю и преобразуем его к виду (2.26): , - общее уравнение прямой. б) Полученное общее уравнение преобразуем к виду (2.27): , или - уравнение прямой в отрезках. в) Разрешим полученное общее уравнение прямой относительно у, получим уравнение (2.32): , . Здесь ,

Пример 25. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Используя уравнение (2.28), получим: .

Здесь вектор является направляющим вектором.

Пример 26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на оси ординат отрезок . Определить угол наклона этой прямой к оси Ох.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой в отрезках (2.27): . По условию . Так как искомая прямая проходит через точку , тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2.27). Подставляя числовые данные в это уравнение, получим:

, , значит искомое уравнение прямой имеет вид . Для нахождения угла между полученной прямой и осью Ох, преобразуем это уравнение к виду (2.32): или . Угловой коэффициент , но , то есть . Поэтому .

Пример 27. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых , и образующуют угол с осью Ох.

Решение. Найдем координаты точки пересечения данных прямых:

Значит точка пересечения данных прямых . Для составления уравнения искомой прямой воспользуемся уравнением (2.31). Здесь - координаты точки А, , , поэтому уравнение прямой примет вид: или .

Пример 28. Даны сторона параллелограмма , две вершины и , а также . Составить уравнения остальных сторон.

Решение. Проверим, проходит ли данная прямая через указанные точки. Для этого подставим координаты точек А и С в уравнение прямой.

:, , значит прямая не проходит через точку А.

: , , поэтому данная прямая проходит через вершину С. Пусть это сторона DC.