Высшая математика (стр. 23 )

Так как в параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, найдем уравнение стороны, проходящей через точку А параллельно данной прямой. Найдем угловой коэффициент этой прямой:

, , , здесь . В силу условия (2.35) , тогда уравнение стороны АВ примет вид или .

Найдем уравнение стороны ВС, проходящей через точку С под углом к стороне DC. Угловой коэффициент прямой DC . Найдем , используя условие (2.33):

, ,

, ,

Составим уравнение стороны ВС, пользуясь уравнением (2.31):

, или.

Пример 29. Дан треугольник с вершинами , и . Составить уравнение и найти длину высоты СН.

Решение. Найдем уравнение стороны АВ, используя уравнение (2.30):

, или

Угловой коэффициент прямой АВ . Высота , тогда по условию (2.36) или .

Составим уравнение высоты СН, пользуясь уравнением (2.31): , , или .

Длину высоты СН найдем по формуле (2.40), как расстояние от точки до прямой АВ :

Таким образом, уравнение высоты СН , а длина высоты СН равна 6.

Пример 30. При каком значении а прямые и а) параллельны; б) перпендикулярны?

Решение. а) Нормальный вектор прямой , прямой - . Из условия параллельности двух прямых (2.38) , , ,

Таким образом, при и данные прямые параллельны.

б) Согласно условия перпендикулярности двух прямых (2.39), получаем:

, ,

, .

Значит, при данные прямые перпендикулярны.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Можно ли уравнение прямой записать в отрезках?

2. Дана прямая . Какие из точек , , лежат на этой прямой?

3. Составить уравнения прямых, проходящих через точку и образующих с прямой угол .

4. Даны вершины треугольника АВС: и . Определить .

5. Определить расстояние от точки до прямой, отсекающей на осях координат отрезки , .

6. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых , и через точку .

7. Даны уравнения высот и и вершина треугольника. Составить уравнения сторон этого треугольника.

8. Даны вершины треугольника , и . Найти точку пересечения высот треугольника.

9. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

10. Показать, что треугольник со сторонами , и равнобедренный. Найти угол при вершине треугольника.

Ответы. 1. Нет, нельзя. 2. Точки А и С лежат на прямой, точки В и D - не лежат. 3. , . 4. . 5. 4,4.