Высшая математика (стр. 6 )

Ранг матрицы удобно вычислять, используя элементарные преобразования над матрицей. К элементарным относятся следующие преобразования:

1) перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Определение. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается ~В.

Свойства ранга матрицы:

1.  При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2.  Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд.

3.  При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, т. е. если ~В, то

Пример 29. Найти ранг матрицы

Решение. Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам третьей строки

~

Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим к элементам третьей строки

~

Вычеркнем третью строку полученной матрицы, т. к. все ее элементы равны нулю:

~.

Составим минор второго порядка:

.

Таким образом,

В преобразованной матрице получилось две ненулевые строки.

Пример 30. Найти ранг матрицы

.

Решение. Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки данной матрицы:

~.

Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к элементам третьей строки:

~.

Элементы второй строки полученной матрицы умножим на (-5) и прибавим к элементам третьей строки:

~

Из элементов полученной матрицы составим определитель третьего порядка. Для этого возьмем первые три столбца:

.

Получили определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали

.

Ранг последней матрицы равен 3, следовательно ранг данной матрицы тоже равен 3.

В последней матрице содержится три ненулевые строки.

Можно сделать следующий вывод:

ранг матрицы равен количеству ненулевых строк преобразованной к треугольному виду матрицы.

Задания для самостоятельного решения.

1.Найти:

a)3A+2B, если

б); в) ; г) д) ; е) ; ж) з) и);

к) .

2.Найти значение многочлена f(A), если:

а), где ;

б) , где ;

в) , где .

3.Найти матрицы, обратные для данных и сделать проверку:

а); б) ; в); г) .

4.Найти ранг матрицы:

а); б); в);

г) ; д); е).

Ответы:

1.а); б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж); з); и) ; к) .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а)2; б)3; в)3; г)2; д)1; е)2.

1.3.Системы линейных уравнений

1.3.1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

(1.16.)

где числа называются коэффициентами системы, числа - свободными членами.

Матрица, составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей и обозначается:

. (1.17.)

Расширенной матрицей системы называется матрица , полученная из основной матрицы А, дополненная столбцом свободных членов:

. (1.18.)

Решение системы (1.16) называется n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

.

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.