Высшая математика (стр. 3 )

2. Решить уравнения:

3. Решить неравенства:

4. Вычислить определители:

Ответы: 1. а)7; б)26; в)0; г)0;. 2. а)5; б)2; в)2; г) 3. а) б) в) г)[-1;7]. 4. а)-24; б)40; в)-9; г)57; д)-5; е)1; ж)1; з)55; и)30; к)48; л)0; м)100; н)150.

1.2.Матрицы

1.2.1.  Основные понятия

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины и n столбцов одинаковой длины, которая записывается в виде

(1.9)

или, сокращенно, , где , (т. е. ) – номер строки, (т. е. ) – номер столбца, числа называются элементами матрицы. Матрицу А называют матрицей размера и пишут . Например. , .

Определение. Две матрицы и равны между собой, если их размеры совпадают, а их соответствующие элементы равны, т. е. , если , где .

Например. Так как размеры матриц совпадают и соответствующие элементы равны, поэтому матрицы А и В равны, т. е.A=B.

Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей n-го порядка.

Например. т. е. дана матрица второго порядка.

Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называются диагональной.

Матрица - диагональная.

Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

или .

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные над главной диагональю (или под главной диагональю), равны нулю.

или - треугольные матрицы.

Важной характеристикой квадратной матрицы порядка n является ее определитель (или детерминант), который обозначается или . .

Определение. Квадратная матрица, у которой определитель отличен от нуля, т. е. , называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.

Например,

Матрица А – вырожденная.

Матрица В – невырожденная.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.

В матричном исчисление матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Определение. Матрица, содержащая одну строку, называется матрицей-строкой

Матрица, содержащая один столбец, называется матрицей-столбцом

Матрица размера , состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. есть 3.

Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается .

Если , то , если , то .

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .

1.2.2.  Действия над матрицами

Определение. Суммой двух матриц и одинаковых размеров называется матрица того же размера такая, что

(1.10)

Пример 14. Найти сумму матриц А и В, если

Решение.