Высшая математика (стр. 15 )

Пусть известны координаты точек и : . Найдем координаты точки .

Векторы и коллинеарны , поэтому . . Приравнивая соответствующие координаты равных векторов, получаем:

или

(2.14)

Если точка М делит отрезок пополам, то , тогда

(2.15)

Пример 10. Даны вершины треугольника , , . Найти координаты точки пересечения медиан этого треугольника.

Решение. Пусть AD – медиана треугольника, тогда точка D - середина отрезка BC. Найдем координаты точки D, используя равенства (2.15): , то есть .

Медианы треугольника точкой пересечения Р делятся в отношении 2:1, считая от вершины, значит , то есть . По формулам (2.14) найдем координаты точки Р:

.

Таким образом, точка пересечения медианы данного треугольника - .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Отрезок АВ точками M,N и Р разделен на четыре равные части. Точка О не принадлежит отрезку АВ. . Выразить через и вектор .

2. При каких значениях и векторы и коллинеарны?

3. Даны три последовательные вершины параллелограмма , и . Найти его четвертую вершину D.

4. Вектор составляет с осями Oy и Oz углы и . Какой угол он составляет с осью Ox?

5. Даны две координаты вектора . Найти его третью координату при условии, что .

6. Дан вектор . Найти сумму направляющих косинусов данного вектора.

7. Даны точки и . Точка С делит отрезок АВ в отношении 2:3, считая от точки А. Найти координаты точки С.

Ответы. 1. . 2. -4;-9. 3. (4;0;6). 4. или . 5. . 6. . 7. .

2.6. Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и (, ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается ,

, (2.16)

где .

Формулу (2.16) можно записать иначе. Так как , , то получаем:

(2.17)

то есть скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства скалярного произведения:

1)

2)

3) ;

4) тогда и только тогда, когда , или , или ;

5) - скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Пусть заданы два вектора и .

Тогда Таким образом,

(2.18)

Пример 11. Даны векторы . Найти скалярное произведение .

Решение. Воспользуемся свойствами 2, 3:

.

Используя формулу (2.18), получаем:

Тогда

Пример 12. Найти длину вектора , если .

Решение. Используя свойство 5 скалярного произведения, получаем

, но , , , следовательно, .

Пример 13. Даны векторы , . Найти угол между векторами и .