Высшая математика (стр. 16 )

Решение. Найдем координаты векторов и :

, то есть ;

, то есть .

Воспользуемся формулой (2.16) ,

тогда

.

Следовательно

тогда

Пример 14. Даны векторы , , . Найти вектор , если известно, что

Решение. Пусть искомый вектор . Из условия следует, что или то есть .

Из условия следует, что или , то есть .

Из условия следует, что или .

Из полученных равенств составим систему линейных уравнений, решение которой и определит координаты искомого вектора .

Решим систему уравнений методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

.

Элементы первой строки матрицы умножим на (-3) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, затем элементы первой строки умножим на 2 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки:

~.

Элементы второй строки полученной матрицы умножим на :

~.

Элементы второй строки умножим на (-5), третьей строки – на 2, затем к полученным элементам третьей строки прибавим соответственные полученные элементы второй строки:

~.

С помощью полученной матрицы треугольного вида составим систему уравнений, равносильную системе .

Таким образом, искомый вектор .

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Упростить выражение

2.  Найти углы треугольника с вершинами , , .

3.  При каком значении m векторы и перпендикулярны?

4.  Найти , если , , .

5.  Даны точки , , . Найти .

6.  Найти длину вектора , если , , .

7.  Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Ответы: 1. 2. 2. . 3. 3. 4. 336. 5.6. 6. . 7. .

2.7. Векторное произведение векторов и его свойства

Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1)  перпендикулярен векторам и , то есть , ;

2)  имеет длину , где ;

3)  векторы , и образуют правую тройку.