Высшая математика (стр. 5 )

Число столбцов матрицы (1) совпадает с числом строк матрицы С(1), таким образом произведение определено, получаемая матрица будет размера .

Найдем произведение :

Найдем произведение :

1.2.3 Обратная матрица

Пусть А-квадратная матрица n-го порядка

.

Определение. Матрица

составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, называется присоединенной к матрице А.

Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находятся так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Пример 23. Дана матрица

Найти матрицу, присоединенную к матрице А.

Решение. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Составим матрицу , присоединенную к матрице А

.

Определение. Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие

, (1.14)

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А..

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы то есть чтобы матрица была невырожденной.

Обратная матрица находится по формуле:

(1.15)

для матрицы А третьего порядка.

Свойства обратной матрицы:

1.

2.

3.

Пример 24. Найти , если

Решение. Проверим, является ли данная матрица невырожденной. Вычислим определитель, соответствующий матрице А:

следовательно матрица А невырожденная и для нее существует обратная матрица .

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Составим матрицу по формуле (1.15)

Проверка:

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Пример 25. Показать, что матрица А является обратной для В, если

Решение. Найдем произведение матриц А и В:

Следовательно, матрица А является обратной для матрицы В.

Пример 26. Найти матрицу, обратную для матрицы

Решение. Найдем определитель матрицы А:

Матрица А – вырожденная, значит обратная для нее матрица не существует.

Пример 27. Найти матрицу, обратную для данной матрицы

Решение. Найдем определитель матрицы А:

значит матрица А невырожденная и для нее существует обратная матрица .

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Используя формулу (1.15), составим матрицу :

.

Проверка:

Значит обратная матрица найдена верно.

1.2.4.  Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера

.

Выделим в ней k строк и k столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Определение. Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

Обозначают ранг матрицы или .

Пример 28. Найти ранг матрицы:

Решение. Дана матрица размера . Возможный ранг матрицы равен трем, т. к. . Но матрица содержит два нулевых столбца, поэтому все определители третьего порядка, составленные из элементов данной матрицы равны нулю:

, , .

Составим минор второго порядка, например

. Значит,