Высшая математика (стр. 26 )

, , .

Таким образом, получили систему уравнений:

, , .

Так как , тогда , , , значит , , .

Таким образом, искомое уравнение гиперболы имеет вид .

Для построения гиперболы, построим основной прямоугольник, стороны которого задаются уравнениями , , то есть , .

Уравнения асимптот гиперболы даны по условию . Вершины гиперболы , . Точки и : и . Найдем координаты фокусов, пользуясь соотношением (2.47) . Значит левый фокус гиперболы , а правый - .

Используя полученные результаты, выполним построения.

Пример 36. Через точку и правую вершину гиперболы проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой с гиперболой.

Решение. Преобразуем данное уравнение гиперболы к виду (2.46):

, .

Правая вершина гиперболы . По условию , поэтому , значит .

Найдем уравнение данной прямой, пользуясь уравнением прямой, проходящей через две точки (2.30).

, , , ,

то есть уравнение прямой .

Для нахождения второй точки пересечения прямой с гиперболой, решим систему уравнений

, ,

, .

Найдем вторые координаты , , , .

Таким образом получили две точки: и . Но точка совпадает с правой вершиной гиперболы , поэтому искомой точкой является .

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через .

Если выбрать систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположить посередине между фокусом и директрисой, причем фокус F имеет координаты , уравнение директрисы - или , то уравнение параболы будет иметь вид

. (2.51)

Уравнение (2.51) называется каноническим уравнением параболы.

В выбранной системе координат ось Ох является осью симметрии параболы.

Так как , то уравнение (2.51) имеет смысл при , следовательно парабола расположена справа от оси Оу.

При имеем . Следовательно, пfрабола проходит через начало координат. Точка называется вершиной параболы.

При другом выборе системы координат получаются канонические уравнения другого вида

, (2.52)

, (2.53)

, . (2.54)

Пример 37. Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой с осью Ох.

Решение. Найдем точку пересечения данной прямой с осью Ох, координаты которой являются координатами фокуса F искомой параболы. На оси Ох любая точка имеет ординату , поэтому из уравнения прямой при этом условии найдем х: , , . Значит фокус пораболы , тогда , . Так как фокус расположен справа от начала координат, тогда искомое уравнение параболы будет иметь вид (2.51):