Высшая математика (стр. 20 )

3. Вычислить сумму направляющих косинусов вектора .

4. Даны векторы , , . Найти .

Вариант VI

1. Векторы , являются диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить через и вектор .

2. При каких значениях и векторы и коллинеарны?

3. Даны векторы , и . Найти .

4. Известно, что , , . Найти

Вариант VII

1. В треугольнике АВС сторону АВ точками М и N разделили на три равные части (считая от А к В), , . Выразить через и вектор .

2. Даны точки , , . Найти .

3. Даны векторы и . При каком значении векторы и перпендикулярны?

4. Известно, что , . Вычислить направляющие косинусы вектора .

Вариант VIII

1. В треугольнике АВС , . Выразить через и вектор , где N – середина стороны АС, Р – середина стороны АВ.

2. Даны векторы , , . Найти .

3. Известно, что , , . Найти .

4. Найти проекцию вектора на ось Oz, если известно, что , , , - острый.

2.9. Прямая на плоскости

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым, только им присущим геометрическим свойством.

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (то есть равенства, связывающего координаты точек линии).

Определение. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Oxy называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют коорлинаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные x и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Пример 24. Лежат ли точки и на линии ?

Решение. Подставив в уравнение линии вместо x и у координаты точки А, получим . Значит точка А не лежит на данной линии.

Подставим в уравнение линии координаты точки В вместо x и у . Следовательно, точка В лежит на данной линии.

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разнее виды уравнений прямой.

Пусть - заданная точка прямой l. Вектор , перпендикулярный прямой l, называют нормальным вектором прямой. Пусть - произвольная (текущая) точка прямой. l. Тогда . По свойствам скалярного произведения , то есть

(2.25)

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Раскрыв скобки и сгрупировав слогаемые в (2.25), получим . Обозначим , уравнение (2.25) примет вид

, (2.26)

которое называется общим уравнением прямой на плоскости.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если , то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;