Высшая математика (стр. 21 )

2) если , то уравнение приводится к виду , прямая параллельна оси Оу;

3) если ,, то получим , прямая проходит через начало координат;

4)если , уравнение прямой принимает вид или , прямая проходит через ось Ох;

5)если , уравнение прямой , или х=0, прямая проходит через ось Оу.

Пусть в уравнении (2.26) , тогда перенесем слогаемое С в правую часть и разделим на него обе части уравнения

, или .

Обозначив , , получим уравнение

, (2.27)

которое называется уравнением прямой в отрезках, здесь а и b - отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

Определение. Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Пусть - заданная точка на прямой l, - направляющий вектор этой прямой, - произвольная точка прямой l. Тогда , . Используя условие (2.13), получим:

(2.28)

Полученное уравнение (2.28) называется каноническим уравнением прямой, или уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

В частности, если прямая l параллельна оси Ох, то ее направляющий вектор и уравнение (2.28) имеет вид , или .

Если , то и уравнение прямой , или .

Если в уравнении (2.28) величину отношения положить равной t (t - параметр, переменная величина, ): , то, выразив х и у из уравнений, получим

, . (2.29)

Уравнения (2.29) называются параметрическими уравнениями прямой.

Пусть на прямой l заданы две точки и . Тогда вектор является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.28), можно записать

(2.30)

Уравнение (2.30) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть - заданная точка на прямой l, - угол наклона прямой к оси Ох, . В качестве направляющего вектора прямой l возьмем единичный вектор , но , тогда , то есть . Используя уравнение (2.28), получим или . Обозначим (k - угловой коэффициент прямой), получим уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении

. (2.31)

Выразив из (2.31) у: и обозначив , получим уравнение

(2.32)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.32) b - ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , где , .

Требуется найти угол , на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .

(по теореме о внешнем угле треугольника) или . Если , то Таким образом

(2.33)

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая - второй, то правая часть формулы (2.33) берется по модулю, то есть

(2.34)

Если , то и . Из формулы (2.33) следует, что , то есть