Высшая математика (стр. 8 )

~

Элементы второй строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки

~

Отбросим третью строку, все элементы которой равны нулю

~ (1.20)

В результате элементарных преобразований получили две ненулевые строки.

~

Ранг основной матрицы системы равен двум r(A)=2.

Ранг расширенной матрицы системы тоже равен двум .

Значит данная система уравнений совместна, а так как число неизвестных, равное трем, больше, чем ранг, то система уравнений является неопределенной.

Найдем общее решение системы уравнений.

Воспользуемся матрицей (1.20) для получения системы уравнений, равносильной данной системе

За базисные неизвестные примем и , а - свободная переменная.

Выразим из этой системы и через :

Пусть , где с – любое действительное число, получаем общее решение данной системы уравнений

Если необходимо найти какое-либо частное решение системы, то константе с придают любое значение, например: пусть с=1, тогда получим

1.3.3.  Матричный метод решения систем

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

(1.21)

Основная матрица системы .

Обозначим , . Пусть , то есть матрица А невырожденная. Тогда систему (1.21) можно представить в виде уравнения

(1.22)

которое называется матричным уравнением. Решим матричное уравнение. Умножим обе части уравнения (1.22) слева на . Получим , а так как , , тогда

(1.23)

Равенство (1.23) называется решением матричного уравнения (1.22).

Таким образом, чтобы решить систему уравнений (1.21) матричным методом, где , надо найти матрицу, обратную матрице А, и умножить ее на матрицу-столбец В, состоящую из свободных членов системы (1.21).

Пример 34. Решить систему уравнений матричным методом

Решение. Выпишем основную матрицу системы

Проверим, является ли матрица А невырожденной:

значит матрица А является невырожденной, поэтому обратная матрица к матрице А существует и данную систему уравнений можно решить матричным методом.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Составим матрицу , присоединенную к матрице А:

По формуле (1.15) получим матрицу , обратную к матрице А:

Найдем решение данной системы уравнений по формуле (1.23)

то есть

Пример 35. Матричным методом решить систему уравнений

Решение. Запишем основную матрицу системы А:

и вычислим определитель этой матрицы

В полученном определителе элементы первой строки пропорциональны соответствующим элементам второй строки, тогда по свойству 6 определителей

Матрица А является вырожденной, а значит решить матричным методом данную систему невозможно.

1.3.4.  Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

определитель основной матрицы которой отличен от нуля, то есть система уравнений невырожденная.

Обозначим . Определитель получается из определителя путем замены первого столбца столбцом из свободных членов:

.

Тогда .

Аналогично , где получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов;

, и так далее, .

Формулы

(1.24)

называются формулами Крамера.

Таким образом, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным методом (1.23) или по формулам Крамера (1.24).

Пример 36. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Решение. Составим и вычислим определитель данной системы уравнений