Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 10 )

;

; .

Значения изгибающего момента Мх в среднем сечении удлиненной пластинки соответствуют моментам в поперечных сечениях пластинки при цилиндрическом изгиб Мх=n Му.

Значения поперечных сил Qх в торцевых опорных сечениях стремятся к предельному значению уже при l>2. Это связано с тем, что на торцовые опоры удлиненных пластинок поперечная распределенная нагрузка передается примерно с зоны равной ширине пластинки, в средних сечениях (х>а) нагрузка передается на продольные опорные грани.

Отметим особенность изменения продольного изгибающего момента Мх в среднем сечении при удлинении пластинки. Вначале, это значение возрастает по сравнению с квадратной пластинки, достигая наибольшего значения при l=1,3, затем уменьшается до предельного значения Мх=n Му при l>4.

Очевидно, если на шарнирно опертую по контуру прямоугольную пластинку будет действовать поперечная нагрузка, равномерно распределенная в продольном направлении и произвольно меняющаяся в поперечном направлении, то средних сечениях удлиненных пластинок (l>4) прогибы и внутренние усилия будут соответствовать. прогибам и внутренним усилиям цилиндрического изгиба пластинки с соответствующем распределением нагрузки в поперечном направлении пластинки.

Рассмотрим распределение прогибов и изгибающих моментов с среднем продольном сечении пластинки и поперечных сил в опорных продольных сечениях при удлинении пластинки. На рис. 6.12 представлены эпюры прогибов и внутренних усилий в продольных сечениях для пластинок с l = 1; 4; 8. Как и в предыдущем случае эпюры различных функций показаны в независимых масштабах. На эпюрах даны значения коэффициентов a (6.3.16) соответствующих функций.

Из эпюр прогибов и изгибающих моментов продольном сечении видно, что в средней зоне удлиненной пластинки (2b<x<a-2b; l>4) наряжено деформированное состояние соответствует цилиндрическому изгибу Прогибы и изгибающие моменты практически постоянны. Наибольшее значение изгибающего момента Мх возникает в переходной зоне вблизи от изгиба в двух направлениях к зоне цилиндрического изгиба , ; . Крутящий момент отличен от нуля в приконтурной зоне, в зоне цилиндрического изгиба равен нулю. Поперечные силы Qx возникают в зоне торцевых опор на расстоянии равном примерно ширине пластинки, в средней зоне равны нулю. Поперечные силы Qу постоянны в средней зоне на расстоянии от торцевых опор равным ширине

пластинки, в опорном сечении в этой зоне Qу = qb/2.

В. Нагрузка распределенная по части пластинки

Если нагрузка распределена по части пластинки, то при разложении нагрузки в ряд Фурье интегрирование производится по области распределения нагрузки

Пусть нагрузка распределена в прямоугольной области пластинки области х1 £ х £ х2, у1 £ у £ у2.

При постоянной нагрузке q=const получаем по формуле (6.2.4)

, (6.3.18)

где Dх = х2-х1, Dу = у2-у1; хс= х1 + Dх/2, ус= у1 + Dу/2 – координаты центра области действия равномерно распределенной нагрузки.

. (6.3.19)

Окончательно, получаем

. (6.3.20)

Если нагрузка симметрично относительно центра пластинки хс = а/2, ус = b/2, получим

Если нагрузка распределена по всей пластинке Dх = а, Dу = b, то получаем формулу (6.3.9)

Рассмотрим пример квадратной пластинки (b=a, l=1). Пусть нагрузка распределена в левой половине пластинки: 0 £ х £ а/2, 0 £ у £ b, Dх = а/2, Dу = b; хс= а/4, ус= b/2 (рис. 6.13)

, m=1, 2, 3…; n=1, 3, 5… При четных значениях индекса n=2, 4, 6… .

Графики прогибов w, изгибающих моментов Мх и Му, поперечной силы Qх в продольном сечении y=b/2, крутящего момента Н и поперечной силы Qу в опорном сечении у=0 приведены на рис. 6.14. На эпюрах приведены значения коэффициентов a в соответствии с формулами (3.1.17). Показаны значения функций в среднем и опорных сечениях, а также их максимальные значения с указанием расстояния максимальных значений от левой опоры

Qу(x; b) ттттт

На эпюрах видны особенности распределения прогибов и внутренних усилий от равномерно распределенной нагрузки, действующей в левой половине пластинки.

Исследуем влияние удлиненности пластинки от действия распределенной нагрузки в левой половине пластинки (рис. 6.15).

На графиках прогибов видно, что для удлиненных пластинок l>3 у правой незагруженной опоры появляется зона, где прогибы практически отсутствуют. Для пластинки с l=8 длина зоны нулевых прогибов распространяется на расстояние х0 » 0,22а от правой опоры.. Зона затухания прогибов – расстояние от середины пластинки до зоны нулевых прогибов . Углы поворота по оси х в этом сечении jх»0, что соответствует жесткому защемлению этого сечения.

Расчеты показывают что зона затухания прогибов для удлиненных шарнирно опертых по контуру пластинок, загруженных равномерно распределенной нагрузкой от левой опоры до среднего сечения при l>3,5 .

Сравнение результатов расчетов удлиненных пластинок загруженных в левой половине пролета с полностью загруженными удлиненными пластинками (рис. 6.12), показывает, ч то прогибы и изгибающие моменты в левой четверти пластинки для удлиненных пластинок практически совпадают, т. е. здесь реализуется форма цилиндрического изгиба с влиянием шарнирного условия опирания левой кромки.

В1. Расчет пластинки загруженной полосовой нагрузкой.

Рассмотрим шарнирно опертую по контуру пластинку, загруженную нагрузкой распределенной по линии, параллельной оси у ( рис. 6.16).

Для определения коэффициента разложения нагрузки в ряд Фурье (6.3.18) заменим нагрузку, распределенную по линии, нагрузкой распределенной по узкой полосе шириной Dх . Тогда имеем

.

Здесь xq - координата приложения действия полосовой нагрузки, параллельной оси у.

Окончательно получаем

.. (6.3.21)

Для равномерно распределенной полосовой нагрузки, с учетом формулы (6.3.19), получим

. (6.3.22)

Рассмотрим квадратную, шарнирно опертую по контуру пластинку, загруженную равномерно распределенной полосовой нагрузкой в среднем сечении по всей ширине пластинки xq = а/2, yc = b/2, Dy=b

, m, n = 1,3,5,…

Коэффициенты членов ряда прогибов и внутренних усилий определяются по формулам

;

;

;

;

;