Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 8 )

Окончательно получаем формулу прогибов виде:

. (6.2.5)

Таким образом при чистом изгибе в пластинке возникают только постоянные изгибающие моменты Мх = mx и Мy = my, остальные внутренние усилия равны нулю.

Рассмотрим частные случаи.

А. Пусть mx = my = m. Тогда

. (6.2.6)

В этом случае прогиб пластины описывается параболоидом вращения. При малых перемещениях форма прогиба представляет часть сферы - , ,

и, следовательно, ., т. е. радиус кривизны изгиба пластинки постоянный для любого косого сечения (рис. 6.8,б).

Б Пусть mx = m. my = 0 (рис. 6.9). Тогда

. (6.2.7)

Поверхность прогибов является гиперболическим параболоидом (рис. 6.9,б). Горизонталями поверхности являются гиперболы, асимптотами которых служат прямые (рис. 6.9,в). Влияние коэффициента Пуассона сказывается на том, что в сечениях перпендикулярных действию контурных моментов появляются прогибы с обратным радиусом кривизны (обратным выгибом)

В. Рассмотрим случай когда mx = m. my = -m. (рис. 6.9). При этом получаем

. (62.7)

Как и в предыдущем случае, поверхность прогибов является гиперболическим параболоидом с асимптотами под углом наклона 45° к осям ху. В сечениях параллельных асимптотам получаем по формулам (3.1), (3.2) Мт= 0, Hn= -m. Если из пластинки выделить прямоугольный элемент со сторонами параллельными асимптотам, то на его контуре будут действовать только постоянные крутящие
моменты H= -m. (рис. .10,б).

Если крутящие моменты на контуре выделенного элемента заменить обобщенными поперечными силами Q* (повернув пары сил на 90°), то по длине элемента обобщенные поперечные силу будут равны нулю, а в углах элемента, в соответствии с формулами (4.4) будут действовать сосредоточенные силы R = 2m (рис. 6.10,в). Таким образом, в рамках принятых допущений, действие в углах прямоугольной пластинки самоуравновешенной системы сосредоточенных сил создает деформацию чистого кручения, так как по всему полю пластинки получаем Hn= m.

6.3. Прямоугольная пластинка, шарнирно опертая по контуру

(Метод Навье)

Рассмотрим прямоугольную пластинку, шарнирно опертую по контуру и загруженную произвольной поперечной нагрузкой (рис 6.8). Граничные условия шарнирно опертой пластинки: :

;

;

;

; (6.3.1)

Решение задачи ищется в двойных тригонометрических рядах

. (6.3.2)

Нетрудно проверить, что граничные условия (6.2.1) выполняются.

Подставляя решение (6.3.2) в уравнение равновесия пластинки (2.4), и разлагая функцию нагрузки в двойной тригонометрический ряд, имеем:

. (6.3.3)

Здесь . (6.3.4)

Приравнивая в формуле (6.3.3) множители при одинаковых функциях, получаем

, (6.3.5)

или

. (6.3.6)

где l=a/b,

Внутренние усилия определяются по формулам:

;

;

;

;

, (6.3.7)

где, с учетом формул (2.1), (2.5), имеем

; ;

;

; .. (6.3.8)

Рассмотрим варианты нагружения шарнирно опертой прямоугольной пластинки.

А. Пусть нагрузка распределена по синусоидальному закону – , т. е. q11=q0 и qmn=0 при m, n > 1. Тогда, все функции определяются 1 членом ряда. Функция прогибов и изгибающие моменты соответствую характеру нагрузки, изменяются по синусоидальному закону с наибольшими значениями в центре пластинки

, , (6.3.9)

w0 – прогиб в центре пластинки.

; . (6.3.10)

Крутящий момент изменяется по косинусоидальному закону (по обеим координатам), достигает наибольших значений в углах пластинки и равен нуль в средних сечениях пластинки.

. (6.3.11)

Поперечные силы имеют синусоидально-косинусоидальное распределение, достигают максимального значения в середине опорного сечения (Qx – при х=0, х=а; Qу – при у=0, у=b). В средних сечениях

;

; . (6.3.12)

; ;

; .

Обобщенные поперечные силы, к которым приводятся поперечных сил и крутящих моментов в опорных сечениях, имеют синусоидальную форму, в углах пластинки при этом возникают сосредоточенные силы.

; ;

;

. (6.3.13)

Эпюры прогибов и внутренних усилий представлены на рис. 6.9.

Эпюра изгибающих моментов Му идентична эпюре Мx , эпюра поперечных сил Qу идентична эпюре Qx при повороте на 90°.

А1. Пусть нагрузка задана в виде – , т. е. в направлении оси у нагрузка остается симметричной (одна полуволна синусоиды), а по оси х становится обратносимметричной (две полуволны) (рис 6.10). Очевидно аналогично распределяются функции прогибов и изгибающих моментов. Прогиба и изгибающие моменты в сечении х=а/2 равны нулю.

Практически мы можем рассматривать шарнирно опертую по контуру прямоугольную пластинку размером , с отношением сторон . Для расчета прогибов и внутренних усилий можно использовать формулы (6.3.9) - (6.3.13), заменяя а на и l на .