Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 4 )

.

Правило знаков для нормальной и касательной составляющих момента на контуре принимаем аналогично правилу знаков внутренних сил –изгибающего и крутящего моментов – положительная нормальная положительная составляющая контурного момента растягивает нижнее волокно пластинки, касательная положительная составляющая момента вращается вокруг нормали к контуру против часовой стрелки.

Тогда, граничные условия на контуре пластинки свободном от закреплений получаем в виде:

;

.

(4.1.16)

Здесь - обобщенная поперечная распределенная на контуре нагрузка, определяется аналогично обобщенной поперечной силе

. (4.1.17)

Если распределенный момент на контуре постоянный, и .

Используя формулы момента b поперечной силы в прогибах, имеем:

;

. (4.1.18)

Вектор распределенного вдоль некоторой линии момента может задаваться в виде составляющих момента относительно осей х, у - .

В этом случае правило знаков моментов связывается с вращением моментов относительно осей. Примем правило знаков моментов в теоретической механике. Положительный момент вращается относительно оси против часовой стрелки. Тогда нормальная и касательная составляющие вектора момента на контуре определяются по формулам (рис. 4.7) :

. (4.1.19)

4.2. Условия упругого опирания контура пластинки

Выше рассматривались простые условия опирания контура пластинки: жесткая заделка, шарнирное опирание и края пластинки, свободные от закреплений. Рассмотрим смешанные граничные условия: условия упругого опирания и упруго защемления косого края пластинки (рис. 4.8)

а/. Упругое опирание.

При упругом опирании обобщенная поперечная сила (опорная реакция) пропорциональна прогибу, а изгибающий момент равен нулю (рис. 4.8,а).

Для упруго опертого криволинейного края у = у(х) граничные условия имеют вид:

; , (4.2.1)

где kw - погонная жесткость упругой опоры.

Здесь первое граничное условие является статическим, второе смешанным. Запишем граничные условия через функцию прогиба:

;

. (4.2.1,а)

б/. Упругое защемление.

При упругом защемлении криволинейного края прогиб равен нулю, а нормальный момент в сечении пропорционален углу поворота опорного сечения (рис. 4.8,б):

;

, (4.2.2)

где kj - погонная жесткость упругого защемления;

Первое граничное условие является кинематическим, второе смешанным.

Для функции перемещений второе условие с учетом первого граничного условия (производные по s равны нулю) запишется в виде

. (4.2.2,а)

Если опорные края параллельны осям прямоугольной системы координат, то условия упругого опирания и упругого защемления получим, используя формулы связи усилий в косом и осевых сечениях (3.1)-(3.3) и формулу угла поворота в косом сечении (4.1.2) и учитывая, что в сечении х=х0 - l = ±1, m = 0, в сечении у=у0 - m = ±1, l = 0. Тогда, в опорном сечении х=х0 получим: Мn = Мх; Hn = H; Qn = Qхl; ; jn=jxl . Аналогично, в опорном сечении у=у0 : Мn = Му; Hn = H; Qn = Qуm; ; jn=jym .

а/. Упругое опирание.

Сечение х=х0

; , (4.2.3)

или в перемещениях:

;

. (4.2.3,а)

Сечение у=у0

; , (4.2.4)

или в перемещениях:

;

. (4.2.4,а)

б/. Упругое защемление.

Сечение х=х0

; , (4.2.5)

или

; . (4.2.5,а)

Сечение у=у0

; , (4.2.6)

или

; . (4.2.6,а)

5. Потенциальная энергия деформаций изгиба

тонкой пластики

Потенциальная энергия деформаций определяется работой изгибающих Мх и Мх и крутящего Мху моментов на соответствующих им перемещениях cх, cу, cху (энергией деформаций сдвига от поперечных сил Qx и Qу, как и в случае стержней пренебрегаем).

. (5.1)

Используя формулы (1.3), (2.1), получаем

. (5.2)

В курсе математического анализа [35] известна формула Гаусса-Остроградского замены интеграла по объему тела, интегралом по поверхности тела. Аналогично, для двухмерной задачи интеграл по площади заменяется интегралом по контуру

, (5.3)

Здесь P, Q - произвольные функции в плоскости; l, m – направляющие косинусы нормали контуру тела.

Используя формулу Гаусса-Остроградского, получим формулу интегрирования по частям интеграла в плоскости. Предварительно проведем дифференцирование произведения подинтегральных функций

.

Используя формулу гаусса-Остроградского для левого слагаемого и перегруппируя слагаемые, получаем Формулу интегрирования по частям в плоскости

. (5.4)

Отметим, что формула (5.4) может применяться для каждого из слагаемых отдельно.

Используем формулу интегрирования по частям, для 2-го слагаемого в формуле потенциальной энергии деформаций пластинки (5.2)

.

Тогда

. (5.5)

Если контур пластинки защемлен, то первые производные функции прогиба на контуре произвольного очертания по любому направлению равны нулю, т. е. , и контурный интеграл в формуле (4.3.5) равен нулю, следовательно, равен нулю и интеграл по площади.