Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 3 )

Чтобы обойти противоречие, на свободном краю вводят понятие обобщенной поперечной силы, являющейся комбинацией поперечной силы и крутящего момента. Для этого крутящие моменты Hdy и на соседних малых элементах dx (в сечении х=х0=const) заменяют парами сил H и . Суммируя вектора пар сил на границе дух элементов приводим действие крутящих моментов к эквивалентной поперечной силе (рис. 4.2).

Суммируя поперечную силу Qx и приведенную поперечную силу от крутящего момента (на единицу длины сечения) получаем обобщенную поперечную силу в сечении .

Аналогично в сечении у=у0=const - . С учетом формул (4.1) (4.5). получим:

;

. (4.4)

Граничные условия на свободных от закреплении краях получаем, приравнивая нулю изгибающий момент и обобщенную поперечную силу. В сечении х=х0=const

®

; ® . (4.5,а)

В сечении у=у0:

®

; ® . (4.5,б)

Использование обобщенной поперечной силы допустимо в рамках используемой приближенной теории. В реальной же пластинке при обобщенной силе равной нулю не означает равенства нулю каждого из слагаемых – поперечной силы и крутящего момента. Следовательно мы получаем на свободной кромке x=const решение с некоторой системой касательных напряжений tzх (соответственно Qx) и tyх (соответственно H). Эти усилия уравновешены в сечении и, согласно принципу Сен-Венана, им отвечает дополнительное поле напряжений, быстро затухающее при удалении от кромки в глубь пластинки и не влияющие на напряженной состояние в основной части пластинки.

Следует отметить, что при приведении крутящего момента к эквивалентной поперечной силе в угловых точках возникают сосредоточенные силы, равные удвоенным значениям крутящего момента (рис.4.3)

. (4.6)

Если кромки пластинки сходятся в угловой точке под углом, отличным от 90°, то значение силы R будет зависеть от угла между кромками.

4.1. Граничные условия в косых сечениях пластинки

Получим граничные условия косых сечениях.

а/. При жестком защемлении косого сечения:

; . (4.1.1)

Здесь - уравнение косого края..

Производную по нормали можно заменить на производные по х, у используя формулу производной по направлению

. (4.1.2)

Аналогично, получаем производную по касательной t в косом сечении (рис. 3.1),

. (4.1.3)

б/. При шарнирном опирании косого края

; . (4.1.4)

. (4.1.5)

Так как вдоль косого края прогиб равен нулю, то очевидно и, следовательно, при шарнирном опирании косого края имеем:

; . (4.1.6)

, (4.1.7)

Откуда второе граничное условие (4.1.4) шарнирного опирания косого края получаем в виде

. (4.1.8)

в/. При свободном от закреплений косом крае имеем

; . (4.1.9)

Для 1-го граничного условия используем формулу (4.1.5) По аналогии с преобразованием (4.1.7) имеем

. (4.1.10)

Тогда, первое условие (4.1.9) для свободного косого края, с учетом формулы (4.1.7), получаем в виде

.

(4.1.11)

Отметим, что аналогичную формулу можно получить, используя формулу (3.1) и формулы (2.1).

Обобщенная поперечная сила в косом сечении определяется по формуле

. (4.1.12)

Заметим, что выражение в квадратных скобках формулы (4.1.12) аналогично формуле (4.1.5), если n заменить (2-n). При этом (1-n). заменяется на -(1-n). Тогда, получим 2-е граничное условие на косом свободном крае

.

Проведя дифференцирование и группируя слагаемые, получаем 2-е граничное условие (4.1.9)

.. (4.1.13)

Отметим, что , так как при обобщенных поперечных силах в углах малого элемента будут возникать реактивные силы - формула (4.4).

Если контур пластинки криволинейный у = у(х), то в каждой точке контура используются граничные условия для косого края (4.1.1), (4.1.6), (4.1.9), угол a - угол между осью х и нормалью к контуру в текущей точке . Криволинейный контур может задаваться в явном виде у = у(х), или параметрическим уравнением

х = х(t), у = у(t).

Направляющие косинусы нормали определяются формулами:

; . (4.1.14)

При явном задании уравнения контура у=у(х) .

На контуре пластинки могут действовать распределенные вдоль линии контура нагрузки: изгибающие моменты и распределенные нагрузки.

а/. При жестком защемлении контура, приложенные к контуру пластинки нагрузки не влияют на напряженно-деформированное состояние пластинки.

б/. На шарнирно опертом крае пластинки действующим (влияющим напряженно-деформирован-ное состояние пластинки) может быть только распределенный момент, нормальный к контуру пластинки (рис. 4.5). Получаем граничные условия в виде

; . (4.1.15)

Левая часть 2-го граничного условия выражается через прогибы по формуле (4.1.7).

в/. На свободном от закреплений крае могут действовать как распределенная вдоль контура нагрузка , так и произвольно направленный распределенный вдоль контура момент - - вектор интенсивности распределенного момента на единицу длины контура.

Момент может быть разложен составляющие – нормальный к контуру момент и момент в касательной к контуру плоскости (рис. 4.6)