Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 2 )

Отметим, что обозначения изгибающих моментов Мх, Му определялись как интегралы от напряжений sх и sу соответственно. В результате их обозначения не привязаны к осям, относительно которых они действуют, как это принято в теоретической механике, сопротивлении материалов и общей теории упругости. В теории пластин получаем – изгибающий момент Мх действует в сечении х=const, а изгибающий момент Му - в сечении у=const. В виду парности касательных напряжений для крутящих моментов имеем Мху= Мух=Н.

В соответствии с гипотезой об отсутствии сдвигов в сечениях пластинки - ; , формально, касательные напряжения txz, tyz в соответствии с законом Гука должны быть равны нулю. Однако это противоречит условиям равновесия пластинки, так как не будет уравновешена поперечная нагрузка. Поэтому, поперечные силы Qx и Qу в сечениях пластинки х, у = const определяем из условий равновесия

Рассмотрим уравнения равновесия малого элемента пластинки (рис. 2.1).

Так как равнодействующие напряжений в сечениях пластинки не имеют тангенциальных составляющих (Nx=Ny=S=0), то используем тольк0 уравнение проекций на ось z и уравнения моментов относительно осей х1 и у1 (осей, проходящих через центр элемента). Использование уравнений моментов относительно осей х1, у1 позволяет автоматически отбросить моменты с малыми множителями.

®

.

®

;

®

.

Приводя подобные члены, сокращая на общий множитель dxdy и устремляя оставшиеся множители dx, dy к нулю получаем уравнения равновесия пластинки в усилиях:

; ; . (2.2)

Последние два уравнения определяют поперечные силы как производные от изгибающих и крутящего моментов. Здесь, как и в других соотношениях прослеживается аналогия с изгибом балок, но учитывается пространственная работа пластин.

Подставляя формулы поперечных сил в первое уравнение (2.2) приходим к одному разрешающему уравнению в моментах

. (2.3)

Используя формулы (2.1) связи изгибающих и крутящего моментов с прогибами, получаем уравнение равновесия пластинки в прогибах

.

Окончательно, получаем уравнение изгиба пластинки в виде

, (2.4)

-  уравнение Софи Жермен – Лагранжа.

С учетом формул (2.1) для поперечных сил получаем:

;

. (2.5)

Усилия в косых сечениях пластинки

Рассмотрим вертикальное сечение пластины, нормаль к которому составляет угол a с осью х. На рис 3.1,а показаны изгибающие и крутящие моменты в сечениях параллельных осям х, у и в косм сечении с нормалью n. На рис. 3.1,а усилия в сечениях представлены в векторном виде.

 

Составляя проекции векторов моментов на ось t – касательную косого сечения, получаем

.

Разделив полученное равенство на ds и учитывая, что ; (l, m – косинусы углов, составляемых нормалью к косому сечению с осями х и у соответственно), получаем

(3.1)

или

. (3.1,а)

Проектируя векторы моментов на нормаль к косому сечению, получим

(3.2)

или

. (3.2.а)

Для поперечных сил на косом краю(рис. 3.2), получаем

,

откуда

(3.3)

или

. (3.3,а)

Используя формулы (2.1)-(2.5) можно получить выражения усилий в косых сечений в прогибах и производных от прогибов по координатам х, у.

Граничные условия. Обобщенные поперечные силы

Рассмотрим постановку граничных условий опирания пластинки и их выражения для функции прогиба.

Для начала рассмотрим эти условия для граней пластинки параллельных осям прямоугольной системы координат.

На рис. 4.1 показаны стандартные условия опирания пластинки: жесткая заделка, шарнирное опирание, свободное опирание. К нестандартным условиям опирания пластинки отнесем упругое опирание и упругую заделку, которые будут рассмотрены ниже.

Любой край пластинки может иметь как однородные (неизменные) условия опирания, так различные условия опирания на частях края. Варианты стандартного опирания пластинки приведены на рис. 4.1,6. В плане пластинки шарнирное опирание обозначается пунктиром (рис. 4.1,б).

а/. При заделке в сечении х=х0=const равны нулю прогиб и угол поворота по оси х равны нулю –

; . (4.1,а)

Аналогично при заделке в сечении у=у0, получаем

; . (4.1,б)

б/. При шарнирном опирании в сечении х=х0=const равны нулю прогиб и изгибающий момент. ; . С учетом формул (2.1) из второго условия имеем . Но из условия следует, что . Следовательно, окончательно получаем условие шарнирного опирания в сечении х=х0:

и . (4.2,а)

Аналогично, при шарнирном опирании в сечении у=у0=const :

и . (4.2,б)

в/. Рассмотрим условия опирания свободного от закреплений края. Очевидно, что все напряжений на этом краю равны нулю и, следовательно, равны нулю все виды равнодействующих напряжений :

; ; . (4.3)

Таким образом на свободном краю мы получили 3 граничных условия. Но, решение дифференциального уравнения 2-го порядка позволяет удовлетворять только по 2 граничных условия. Это противоречие связано с гипотезами Кирхгофа, позволившим построить приближенную теорию изгиба пластин.