Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 15 )

 

Для расчета пластин методом Навье с прерывистыми нагрузками в продольном направлении можно применять метод начальных параметров решения дифференциального уравнения (6.4.9), с использование матричных форм решения [17-18].

Характер распределения нагрузки в продольном направлении определяет форму частного решения в формуле (6.4.10). Для равномерно распределенной в продольном направлении нагрузке , получаем . Для линейно распределенной в продольном направлении нагрузки - (сq - градиент изменения нагрузки в продольном направлении), получим . Для расчета пластин методом Навье с прерывистыми нагрузками в продольном направлении можно применять метод начальных параметров решения дифференциального уравнения (6.4.9), с использование матричных форм решения [17-18].

П. 5. Рассмотрим укороченную прямоугольную пластинку l=0,5, загруженную в среднем сечении полосовой линейно распределенной нагрузкой (рис. 6.25). На поперечных краях условия опирания соответствуют рис. 6.20

, ,

, .

По результатам расчета на рис. 6.26 приведены эпюры прогиба и внутренних усилий в продольных и поперечных сечения сечениях. Расчет проведен с 15 членами ряда - сплошная линия.

Для сравнения приведены графики первого члена ряда - пунктирная линия. На эпюрах приведены значения параметров в характерных точках только для результирующей (для суммы членов ряда) эпюры. Как видно из графиков с 1 членом ряда, существенно отличаются от результирующих графиков, как по величине так и по форме Существенно изменяется форма графиков в поперечном направлении., на что влияет характер нагрузки - распределенная по линии нагрузка. В среднем продольном сечении (сечении действия полосовой нагрузки) происходит скачек значений поперечной силы Qy, аналогично скачку поперечной силы в балке от действия сосредоточенной силы.

Для полосовой нагрузки (рис. 6.25) для прогибов точность расчета обеспечивается -3-4 членами ряда. Точность расчета изгибающих моментов обеспечивается 8-9 членами ряда, для поперечных сил - 14-15 членов ряда.

 

На рис. 6.27 приведены пространственные эпюры прогибов и внутренних усилий.

 

.

6.5. Метод Ритца-Тимошенко расчета изгиба пластин

Метод Ритца-Тимошенко основан на принципе Лагранжа принципе минимума полной энергии деформаций (см. раздел I.7.4). Полная энергия деформаций твердого деформируемого тела определяется отношением (I.6.3.1)

, (6.5.1)

Потенциальная энергия деформаций изгиба пластин определяется по формуле (5.2)

, (6.5.2)

Работа внешних сил

. (6.5.3)

Здесь Рi – сосредоточенные силы, приложенные в точках с координатами ; р(х, у) - распределенная вдоль линии у(х) поперечная нагрузка; и - проекции на оси х и у распределенного вдоль линии у(х) момента.

Заметим, что составляющие момента mx и mу можно заменить на нормальную mn и касательную mt (к линии у(х)) составляющие момента и , при этом

.

Как и при решении задачи методом Леви, перейдем к безразмерным координатам (6.42). Решение задачи ищется в виде ряда

, (6.5.4)

где Аmn - неопределенные коэффициенты (определяются из условия минимума полной энергии деформаций); - функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям опирания пластинки (статические граничные условия могут не выполняться); G – коэффициент, который принимается в процессе решения, для приведения решения к наиболее удобному виду.

Напомним, что если функции членов ряда не удовлетворяют статическим граничным условиям, то они выполняются для суммы ряда, при минимизации полной энергии деформаций.

При подстановке решения в функционал полной энергии деформаций, функционал становится функцией неопределенных коэффициентов Аmn, которая достигает минимума, если частные производные по всем аргументам равны нулю, т. е.

или , (6.5.5)

В результате проведения этой операции, приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений

, (6.5.6)

Чтобы получить коэффициенты и Сkl проведем операции дифференцирования, в соответствии с формулами (6.5.5). Так как интегралы энергии и работы внешних сил неособенные, то дифференцирование можно проводить под знаком интеграла:

.

Или, подставляя решение (6.5.4), получим

;

.

Приравнивая производные потенциальной энергии и работы внешних сил, сокращая общие множители и положив , где q0 – некоторое значение интенсивности произвольной нагрузки, окончательно получим:

;

. (6.5.7)

Метод Ритца-Тимошенко позволяет рассчитывать пластинки с произвольным контуром., в том числе пластинки с отверстиями и пластинки с неоднородными условиями опирания (пластинка частично шарнирно опертая, частично защемленная или свободная на одном краю) Но подбор функций, удовлетворяющих как минимум кинематическим граничным условиям становится сложной задачей. Для решения таких пластин можно использовать R-функции - функции, описывающие произвольный контур [33] .

Если пластинка произвольного очертания жестко закреплена по контуру или шарнирно оперта на участках границы, параллельных осям х, у прямоугольной системы координат, то коэффициенты системы уравнений могут быть определены по упрощенной формуле (4.3.6).

Получив значения коэффициентов из решения системы алгебраических уравнений (6.3.5), вычисляют прогибы и внутренние усилия в любой точке пластинки.

Для прямоугольной пластинки обычно принимают функции прогиба в виде произведения функций аргументов х и у

, (6.5.8)

где - функции, удовлетворяющие условиям опирания пластинки на краях х = 0, х = а и у = 0, у = b соответственно, при этом удовлетворяются обычно балочные условия опирания, а сами функции называют балочными функциями.