Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 6 )

q=q0x Таблица 6.2

Схема балки
Х(x)	x2(2-3x+x3)	x2(7-9x+2x3)/2	x2(20-10x+x3)
Х ”(x)	2(2-9x+10x3)	7-27x+20x3	20(2-3x+x3)
	-6(3-10x2)	-3(9-20x2)	-60(1-x2)
Схема балки
Х(x)	x(7-10x2+3x5)/3	x(1-2x2+x4)	(3-5x+x5)
Х ”(x)	-20x(1-x3)	-4x(3-5x2)	20x3
	-20(1-3x2)	-12(1-5x2)	60x2

Пример 6.1. Рассмотрим пластику с жестко защемленной левой кромкой и правой кромкой опертой на упругую опору с коэффициентом упругой опоры kw.. Пусть пластинка загружена равномерно распределенной нагрузкой q=q0. Поперечное сечение пластинки показано на рис. 6.2.

Из условий опирания на левом краю пластинки получаем с0= с1=0,

.

Граничные условия на правом краю (l=1), с учетом формул (4.2.3), (6.1.2), получаем в виде: ; . Или в безразмерных координатах с учетом формулы (6.1 4): ; .

Удовлетворяя граничные условия, имеем:

; .

Решая систему уравнений, получаем:

; ,

(6.1.7)

где - безразмерная величина, характеризующая отношение погонной жесткости упругой опоры, изгибной жесткости пластинки и длины пролета баки-полоски (ширины пластинки).

Из формул (6.1.7) можно получить два предельных случая:

а) консольную балку-полоску, защемленную на левой опоре: kw=0, с2=6, с3=-4, Х(x) = x2(6-4x+x2);

б) балку-полоску, жестко защемленную на левой опоре и шарнирно опертую на правой опоре: kw= ¥, Х(x) = x2(3-5x+2x2)/2, с2=3/2, с3= -5/2.

В табл. 6.3 представлены результаты расчета пластинки с различными значениями параметра m.

w(x)=a(x)×qa4/D, Mx(x)=b(x)×qa2 , Qx(x)=g(x)×qa

a(x)=GX(x); b(x)=GX”(x); g(x)= GX’”(x).

Таблица 6.3

m	с2	с3	a(0,5)×10	a(1)×10	b(0)	b(0,5)	g(0)	g(0,5)	g(0)
0	6	-4	0,443	1,25	-0,5	-0,125	-1	-0,5	0
1	4,88	-3,62	0,345	0,938	-0,406	-0,078	-0,906	-0,406	0,094
2	4,20	-3,40	0,286	0,750	-0,350	-0,050	-0,850	-0,350	0,150
5	3,19	-3,06	0,199	0,469	-0,266	-0,008	-0,766	-0,266	0,234
10	2,54	-2,85	0,142	0,288	-0,212	0,0192	-0,712	-0,212	0,288
20	2,09	-2,70	0,103	0,163	-0,174	0,0380	-0,674	-0,174	0,326
50	1,76	-2,58	0,0742	0,0708	-0,146	0,0519	-0,646	-0,146	0,354
100	1,63	-2,54	0,0635	0,0364	-0,136	0,0570	-0,636	-0,136	0,364
200	1,57	-2,52	0,0579	0,0185	-0,131	0,0598	-0,631	-0,131	0,369
400	1,53	-2,51	0,0550	0,0093	-0,128	0,0611	-0,628	-0,128	0,372
600	1,52	2,51	0,0540	0,0062	-0,127	0,0616	-0,627	-0,127	0,370
800	1,52	-2,52	0,0535	0,0047	-0,126	0,0618	-0,626	-0,126	0,374
¥	1,50	-0,25	0,0521	0	-0,125	0,0625	-0,625	-0,125	0,375

Пример 6.2. Рассмотрим пластику с шарнирно опертой левой кромкой и упруго защемленной правой кромкой с коэффициентом упругого защемления kj.. Пусть пластинка загружена линейно распределенной нагрузкой q=q0x. Поперечное сечение пластинки показано на рис. 6.3.

Из условий опирания на левом краю пластинки получаем с0= с2=0, . Граничные условия на правом краю (l=1), с учетом формул (4.2.5), (6.1.2), получаем в виде: w(a)=0, . Или в безразмерных координатах с учетом формулы (6.1 4): ; .

Удовлетворяя граничные условия, имеем:

; .

Решая систему уравнений, получаем:

; , (6.1.7)

где - безразмерная величина, характеризующая отношение погонной жесткости упругого защемления, изгибной жесткости пластинки и ширины пластинки. Размерность коэффициента .

Как и в предыдущем примере можно получить два предельных варианта.

а) шарнирно опертую на концах балку-полоску kj = 0, с1=7/3, с3= -10/3, Х(x) = x(7-10x2+3x5)/3;

б) балку-полоску, шарнирно опертую на левой опоре и жестко защемленную на правой опоре: kj = ¥, Х(x) = x(1-2x2+x4), с1=1, с3= -2.

Результаты расчет пластинки при различных значениях коэффициента e представлены в табл. 6.4.

w(x)=a(x)×qa4/D, jх(x)=d(x)×qa3/D, Mx(x)=b(x)××qa2 , Qx(x)=g(x)×qa .

a(x)=GX(x); d(x)= GX’(x); b(x)=GX”(x); g(x)= GX’”(x); Таблица 6.4

e	с1	с3	a(0,5)×10	d(1)×10	b(0,5)	b(1)	g(0)	g(0,5)	g(0)
0	2,33	-3.33	0,0651	-0,222	0,0625	0	-0,167	-0,042	0,333
1	2,00	-3,00	0,0547	-0,167	0,0542	-0,0167	-0,150	-0,025	0,350
2	1,80	-2,8	0,0484	-0,133	0,0492	-0,0267	-0,140	-0,015	0,360
5	1,50	-2,6	0,0391	-0,0833	0,0417	-0,0417	-0,125	0	0,375
10	1,31	-2,31	0,0330	-0,0513	0,0369	-0,0523	-0,115	0,010	0,385
20	1,17	-2,17	0,0289	-0,0290	0,0335	-0,0580	-0,109	0,016	0,391
50	1,078	-2,08	0,0258	-0,0126	0,0311	-0,0629	0,104	0,021	0,396
100	1,04	-2,04	0,0246	-0,0647	0,0301	-0,0647	-0,102	0,023	0,398
200	1,02	-2,02	0,0240	-0,0328	0,0297	-0,0657	-0,101	0,024	0,399
400	1,01	-2,01	0,0238	-0,0016	0,0294	-0,0662	-0,100	0,025	0,4
600	1,007	-2,01	0,0236	-0,0011	0,0293	-0,0663	-0,100	0,025	0,4
¥	1	-2	0,0234	0	0,029	-0,0667	-0,100	-0,025	0,4

Рассмотрим случай отсутствия нагрузки в пролете. В этом случае на продольных краях пластинки могут действовать равномерно распределенные вдоль граней моменты mоп (кроме жестко защемленного края) поперечная нагрузка qоп (кроме шарнирно опертого или не жестко защемленного края.) (рис. 6.4).