Можно рассматривать синусоидальные нагрузки общего типа . В этом случае, можно рассматривать отсек оболочки , , с отношением сторон

.

Б. Равномерно распределенная нагрузка q=q0.

Разлагая нагрузку в двойное ряд Фурье, имеем:

. (6.3.14)

Все функции разлагаются в двойные ряды по нечетным членам ряда

и т. д.

;

; ;

;

; .;

m, n = 1, 2, 3… (6.3.15)

Для квадратной пластинки l=1 при расчете с одним членом ряда получим значение прогиба и изгибающих моментов в центре пластинки (n=0,3), а также, значения крутящего момента в углах пластинки и поперечных сил в середине опорных краев:

;

;

;

.

Полученное решение в рядах для прогибов имеет быструю сходимость для прогибов. Точное решение в центре пластинки получаем при четырех членах ряда (m, n = 1, 3) . Невязка первого приближения .

При использовании двойных рядов удобнее проводить увязанную (диагональную) нумерацию членов ряда ху:

* ,

K - число членов ряда по одной из координат, при этом m+n=k+1.

При диагональной нумерации общее число членов ряда определяется формулой , при независимой нумерации M = K2.

Характер диагональной нумерации неизвестных при K=7 показан в табл. 6.5 .

Таблица 6.5

k

m, n

k+1

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 5

1, 6

1, 7

1

2, 1

2, 2

2, 3

2, 4

2, 5

2, 6

(2, 7)

2

3, 1

3, 2

3, 3

3, 4

3,5

(3, 6)

(3, 7)

3

4, 1

4, 2

4, 3

4,4

(4, 5)

(4, 6)

(4, 7)

4

5, 1

5, 2

5, 3

(5, 4)

(6, 5)

(5, 6)

(5, 7)

5

6, 1

6, 2

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

(6, 7)

6

7, 1

(7, 2)

(7, 3)

(7, 4)

(7, 5)

(7, 6)

(7, 7)

7

В таблице члены ряда с одинаковой суммой индексов идут по диагонали

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В скобках показана нумерация дополнительных слагаемых при независимой нумерации индексов. При нечетных членах ряда (6.3.10) K определяется нечетными числами - K = 1, 3, 5.

При независимой нумерации неизвестных, в ряде учитываются малые члены, в частности wМ ,М, в то время как более значимые члены ряда wM+k, n (M+1<M+k+ n<2M) не учитываются.

При дифференцировании рядов сходимость решения ухудшается. Для получения точного решения изгибающих моментов в центре пластинки , при диагональной нумерации индексов членов ряда (k=1, 3…15) требуется использовать в расчете 45 членов ряда, при независимой нумерации - 81 член ряда. Невязка первого приближения . Наибольшее значений крутящего момента получаем также при 45 членах ряда , невязка 1-го члена ряда . Чтобы получить невязку не превышающую 3% в расчете изгибающего момента достаточно провести расчет с 4 членами ряда при независимой нумерации индексов - , . Для крутящего момента при расчете с 6 членами ряда при диагональной нумерации индексов получаем; .

При вычислении значений поперечных сил наблюдается медленная сходимость. Точное значение поперечных сил в серединах опорных краев было получено [40] с использованием метода Леви. Точность 1-го приближения Для получения точного значения поперечных сил с использование двойных тригонометрических рядов расчете придется использовать несколько тысяч членов ряда. Однако, получить точность с невязкой не превышающей 3% можно получить используя около 70 членов ряда. Так при k=1, 3…21 (66 членов ряда) получим , точность . При независимой нумерации индексов членов ряда для достижения точности не превышающей 3% расчет проводится с 121 членом ряда.

Исследуем влияние удлиненности пластинки (l=а/b>1) на прогибы и внутренние усилия в шарнирно опертой прямоугольной пластинке.

Отметим, что сходимость рядов для удлиненной пластинки несколько ухудшается. Так при l=2 для получения точного значения прогиба в центре пластинки приходится использовать 15 членов ряда, для изгибающего момента Му - 66 членов ряда, и т. д.

Для удлиненных пластинок отнесем значения всех функций к меньшему размеру пластинки в плане – b, заменив в формулах (6.2.10) a=lb:

;

; ;

;

; .;

. (6.3.16)

На рис 6.11 приведены графики зависимости наибольших значений прогибов и внутренних усилий от параметра l.

На графиках приведены значения коэффициентов aс соответственно с формулами:

;

; ;

; ; (6.3.17)

Эпюры различных функций представлены в независимых масштабах.


Из приведенных графиков видно, что в среднем сечении пластинки при l>4 в все функции стремятся некоторому значению. Практически, условия опирания поперечных краев пластинки перестают влиять на прогибы и внутренние усилия в средней части пластинки, где реализуются условия цилиндрического изгиба (см. раздел 6.1). Предельными значениями прогиба, изгибающего момента Му, в среднем сечении удлиненной пластинки и поперечной силы Qу нв опорном сечении (l> 4) являются значения соответствующих величин в шарнирно опертой балки от равномерно распределенной нагрузки, в частности:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16