Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 12 )

x/a	b(P)	dx=0,2	dМ %	dМ=0,1	dМ%	dx=0,05	dМ%
0	0	0	0	0	0	0	0
0,00	0,00932	0,00966	3,6	0,00940	0,9	0,00934	0,2
0,10	0,01922	0,01994	3,7	0,1939	0,9	0,01925	0,2
0,15	0,03033	0,03151	3,9	0,03062	1,0	0,03041	0,3
0,20	0,04341	0,04520	4,1	0,04386	1,0	0,04351	0,2
0,25	0,05945	0,06232	4,8	0,06015	1,2	0,05963	0,3
0,03	0,07996	0,08443	5,6	0,08109	1,4	0,08023	0,3
0,35	0,1076	0,1145	6,4	0,1096	1,9	0,1081	0,5
0,40	0,1478	0,1605	8,6	0,1522	2,9	0,1490	0,8
0,45	0,2185	0,2006	8,2	0,2313	5,9	0,2218	1,5
0,50	¥	0,2121	-	0,2840	-	0,3586	-

При расчете изгибающих моментов для обеспечения точности при замене сосредоточенной силы распределенной нагрузкой при dх = 0,05 расчет проводился с 406 членами ряда с диагональной нумерацией. Для обеспечения точности расчета изгибающего момента от сосредоточенной силы b(Р) на расстоянии 0,05а от точки приложения силы потребовалось провести расчет с более 60000 членов ряда.

Как видно из приведенных значений точность изгибающего момента до 3% на расстоянии 0,1а от точки приложения сосредоточенной силы обеспечивается при замене ее распределенной нагрузкой в зоне Dх = Dу = 0,1а. Замена распределенной силы распределенной нагрузкой в зоне Dх = Dу = 0,05а точность до 1,5% обеспечивается на расстоянии до 0,05а от точки приложения силы.

6.4. Расчет прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по двум противоположным сторонам (Метод Леви)

Рассмотрим прямоугольную пластинку, две противоположные стороны которой шарнирно оперты, а две другие стороны могут иметь различные, но однородные (неизменные по краю) условия опирания (рис. 6.19). В том числе можно рассматривать упругое опирание или упругое защемление этих сторон пластинки. Метод решения таких пластин был предложен французским ученым М. Леви.

Для удобства преобразований и записи решения перейдем к безразмерным координатам, положив

; ; . (6.4.1)

Очевидно, область изменения безразмерных координат определяется выражениями

; ;

; .

Дифференцируя выражения (1.3) по х и у , получим.

;.

и для последующих производных

; . (6.4.2)

Оператор Лапласа и бигармонический оператор в безразмерных координатах принимают вид

; ; ;

. (6.4.3)

Внутренние усилия определяются по формулам:

; ;

;

; ;

;

. (6.4.4)

Уравнение равновесия пластинки в безразмерных координатах запишется в виде:

. (6.4.5)

Граничные условия на шарнирно опертых продольных краях при у = 0, у = b ( h = 0, h = 1) получаем в виде

; . (6.4.6)

Из равенства нулю изгибающих моментов, в соответствии с формулами (4.2,б), имеем

. (б.4.6,а)

Решение принимаем по аналогии с решением шарнирно опертой прямоугольной полосы в виде одинарных тригонометрических рядов

. (6.4.7)

где X(x) - функция распределения прогиба вдоль оси х, q0 - произвольное значение нагрузки (при q=const, q0=q),

Не трудно убедится, что решение (6.4.7) удовлетворяет граничным условиям (6.4.6) на шарнирно опертых продольных краях.

Нагрузку разлагаем в ряд Фурье по координате h

, (6.4.8)

где

Подставляя решения (6.4.7), (6.4.8) в уравнение (6.4.5) и приравниваялевую и правую части при одинаковых членах ряда, получим дифференциальное уравнение

, m=1,2,3… (6.4.9)

где .

Характеристическое уравнение имеет кратные корни , . Общее решение дифференциального уравнения (6.4.9) получаем в виде

, (6.4.10)

где - частное решение неоднородного дифференциальное уравнения (6.4.9), зависящее от характера изменения нагрузки по оси ξ (х).

Используя комбинации частных решений однородного уравнения (6.4.10), решение можно записать в виде

, (6.4.11)

, , , .

Коэффициенты Сim, Aim определяются при удовлетворении граничных условий на поперечных краях пластинки ξ=0, ξ=1.

Дифференцируя функции , получаем

; ;

; . (6.4.12)

При дальнейшем дифференцировании, получим

; ;

i =3, j = 4 при к=1,3,5..; i =1, j = 2 при к=2,4,6..;

;