Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 16 )

В этом случае коэффициенты системы алгебраических уравнений определяются по формуле

,

(6.5.9)

где ; ;

; .

Коэффициенты с нижним индексом у получаются с соответствующей заменой функции Х(x) на функцию Y(h), dx на dh.

Если прямоугольная пластинка не имеет свободных краев, то в соответствии с формулой (5.6), получим

. (6.5.9,а)

Если функции в интегралах (6.5.9) обладают свойством ортогональности, т. е. коэффициенты , , , равны нулю при , (аналогично для коэффициентов с индексом у при ) то бесконечная система алгебраических уравнений (6.5.6) распадается на систему отдельных уравнений

, , (6.5.10)

Если условия ортогональности не выполняются, то необходимо решать бесконечную систему алгебраических уравнений. На практике обычно используют решение с конечным числом членов ряда, получая в результате приближенное решение. Для уточнения решения необходимо увеличить число членов ряда и повторить расчет. Сходимость решения зависит от правильного подбора функций членов ряда. Доказательство сходимости последовательности решений является достаточно сложным процессом и в данной работе не рассматривается. На практике, чаще всего о сходимости судят по близости результатов расчета с различным числом членов ряда, хотя это не гарантирует точности решения при значительном увеличении членов ряда.

Балочные функции - функции удовлетворяющие как минимум кинематическим граничным условиям опирания балки-полоски, вырезанной из пластинки параллельно осям х или у.

В частности используются следующие типы балочных функций:

а/. Тригонометрические балочные функции - функции получают комбинаций тригонометрических функций, так чтобы они удовлетворяли как минимум кинематическим граничным условиям. Типы тригонометрических балочных функций приведены в приложении. В большинстве случаев интегралы (6.5.9) от тригонометрических балочных функций и их производных не обладают свойством ортогональности.

б/. Полиноминальные балочные функции. Как и тригонометрические эти функции подбираются в форме полиноминальных функций, удовлетворяющих как минимум кинематическим граничным условиям. Полиноминальные функции не отвечают свойствам ортогональности интегралов (6.5.9). Примеры, использования Полиноминальные балочные функции приведены в пособии [13].

в/. Статические балочные функции являются частным случаем полиноминальных балочных функций. Функции получают интегрированием дифференциального уравнения изгиба балки и точно удовлетворяют кинематическим и статическим условиям опирания балки. В качестве нагрузки при этом используются непрерывные типы нагрузок. В приложении приведены статические балочные функции для равномерно распределенной и линейно распределенной нагрузок.

Статические балочные функции, часто используют для решения в первом приближении с одним членом ряда. При этом для пластин близких к квадратным получается неплохая точность Для удлиненных пластин форма прогиба статических балочных функций не отвечает реальной форме прогиба, который для удлиненных пластин стремится к цилиндрическому. Для уточнения решения расчет проводится с несколькими членами, для которых статические балочные функции умножаться на множители. xm(1-.x)k.

г/. Динамические балочные функции - функции формы колебаний балки Динамические балочные функции получают из решения дифференциального уравнения колебаний балки, которое при использовании метода Фурье (метода разделения переменных), которое распадается на уравнение формы колебаний и уравнение частот колебаний. Динамические балочные функции получаются из решения дифференциального уравнения формы колебаний при удовлетворении всех граничных условия опирания. Динамические балочные функции обладают свойством ортогональности при вычислении коэффициентов и . Интегралы при вычислении коэффициентов , не обладают свойством ортогональности. Однако для опертых балок (шарнирное опирание и жесткое защемление) эти интегралы обладают свойством квазиортогональности - , . Тогда, принимая , , получают систему независимых уравнений для каждого члена ряда. Динамические балочные функции являются наиболее удобными функциями при расчете прямоугольных пластин. Для вычисления коэффициентов , , , получены формулы, которые легко реализуются на ЭВМ. Системы динамических балочных функций приведены в приложении.

Рассмотрим примеры расчета прямоугольных пластин методом Ритца-Тимошенко.

П. 1. Рассмотрим шарнирно опертую по контуру пластинку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой q=q0.

В 1-м приближении решение будем искать с 1 членом ряда, принимая балочные функции в виде , . Очевидно, кинематические граничные условия (равенство прогибов на контуре нулю) выполнены.

Вычисляем коэффициенты по формулам (6.5.9, 6.5.9.,а)

;

;

;

Для равномерно распределенной нагрузки имеем

.