Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 13 )

t =1, p = 2 при к=1,3,5..; t =3, p = 4 при к=2,4,6… (6.4.13)

Учитывая решение (6.4.8) и формулы (6.4.4) получим формулы углов поворота и внутренних усилий

; ;

;

;

;

;

;

;

. (6.4.14)

Рассмотрим пример формулировки граничных условий на поперечных краях пластинки. Пусть левый край пластинки (ξ=0) упруго защемлен, правый край (ξ=1) оперт на упругую опору (рис. 6.20).

На левом краю (ξ=0, l = -1) согласно формул (4.2.5,а), с учетом перехода к безразмерным координатам и формул (6.4.14) получим граничные условия для m-го члена ряда:

(6.4.15)

Аналогично, для правого края (ξ=1, l =1) имеем с учетом формул (4.2.3,а)

. (6.4.16)

Если левый край упруго защемлен, а правый упруго оперт, тогда в формулах (6.4.15), (6.4.16) изменяются знаки при коэффициентах упругой опоры (Кw) и упругого защемления (Кφ). Меняются также значения аргумента - координаты ξ = .

Если, значению коэффициента упруго защемления задавать предельные значения, то при Кw=0 получаем условия свободного края, при Кw= - условия шарнирного опирания (при этом во 2-й формуле (6.4.15) необходимо провести деление на Кw=).

Аналогично при получаем шарнирно опертый край, при Кφ= - жестко защемленный край.

Из формул (6.14.15), (6.4.16) следует, что влияние упругого опирания (упругого защемления) поперечного края на прогибы и, следовательно, на внутренние усилия зависит от отношения коэффициента жесткости упругой опоры Кw (Кφ) к изгибной жесткости пластинки D. Влияние на напряженно-деформированное состояние пластинки будет оказывать и параметр удлиненности пластинки λ.

Практически комбинации граничных условий приведенных не рис16.20, обеспечивают любые однородные граничные на поперечных краях пластинки.

Рассмотрим квадратную пластинку с шарнирно опертыми продольными краями и условиями опирания поперечных краев пластинки, соответствующими рис. 6.20. Если коэффициент упругого защемления левой опорной кромки Кφ=0, а коэффициент упругого опирания правой опоры Кw=, то получаем шарнирно опертую по контуру пластинку.

В табл.. 6.9 приведены результаты расчета (максимальные значения) квадратной шарнирно опертой по контуру пластинки методом Леви для равномерно распределенной нагрузки.

Для равномерно распределенной нагрузки имеем в соответствии с формулой (6.4.8)

, m=1,3,5..; , m=2,4,6...

Таблица 6.9

№ пр.	wс	Мх	Мy	Mxy	Qx	Qy
1	0,004109	0,0492	0,0517	0,03015	0,3717	0,2438
2	0,004059	0,0477	0,0471	0,03182	0,3267	0,2880
3	0,004063	0,0480	0,0481	0,03218	0,3429	0,3042
4	0,004062	0,0479	0,0478	0,03231	0,3346	0,3125
5	0,004062	0,0479	0,0479	0,03237	0,3396	0,3175
6	0,004062	0,0479	0,0479	0,03240	03363	0,3208
точн..	0,004062	0,0479	0,0479	0,0325	0,338	0,338
d 1 пр.	1%	2,7%	7,9%	7,2	10,4%	25%
d 5 пр	0	0	0	0,3	0,5	5,3

Из приведенных результатов видна быстрая сходимость результатов расчета. Прогибы и изгибающие моменты дают точность в пределах 3% при расчете с 1-2-мя членами ряда. Расчет поперечных сил Qx с двумя членами ряда дает точность 3,3%, при расчете с 3-мя членами ряда точность - 1,4%. Неудовлетворительная точность при расчете с малым числом членов ряда для поперечных сил Qу. Такое различие в точность расчета поперечных сил Qx и Qу связано с тем, что решение дифференциального уравнения (6.4.9) хорошо отражает форму прогиба пластинки в продольном направлении, в том числе для первого члена ряда. В поперечном направлении форма прогиба получается суммированием тригонометрических функций. Как отмечалось при рассмотрении метода Навье, сходимость тригонометрических рядов ухудшается при их дифференцировании, что и отражается на вычислении поперечных сил Qу., включающих 3-ю производную в поперечном направлении. Для расчета поперечной силы Qу. с точностью 3% для шарнирно опертой квадратной пластинки приходится использовать решение с 10 членами ряда.

Сравнение решения удлиненных шарнирно опертых по контуру прямоугольных пластинок методом Леви с точными решениями методом Навье показало, что точность решений методом Леви в пределах 3% для пластин любой удлиненности обеспечивается с использование 2-х членов ряда для все параметров, за исключением поперечных сил Qу., для уточненного расчета которых требуется учитывать 8-10 членов ряда. Напомним, что для точного расчета внутренних параметров в удлиненных пластинках методом Навье приходилось учитывать сотни членов ряда.

Замечание.: Метод Леви, как и метод Навье относится к точным аналитическим методам решения задач. Использую достаточное число членов ряда решение может быть получено с любой степенью точности. В тоже время необходимо отметить, что система уравнений метода Леви, удовлетворяющая граничным условиям на поперечных краях (x=0, x=1) для старших членов ряда получается плохо обусловленной. Это связано с быстрым ростом множителей в уравнениях граничных условиях на левом поперечном крае (x=1), по сравнению с уравнениями граничных условий на левом краю (x=0). При решении системы уравнений с плохо обусловленной матрицей на ЭВМ это приводит к неверному решению системы и общего решения старших членов ряда.

Обусловленность системы уравнений можно улучшить, умножая (правую и левую части) уравнений граничных условий на правой кромке пластинки (x=1) на множитель . Однако полностью это проблемы не решает. Точное решение для удлиненных пластинок проходит для 8-9 членов ряда.

В тоже время можно получить аналитическое решение системы уравнений граничных условий и для старших членов ряда провести асимптотический анализ полученного решения.

Рассмотрим примеры с другими условиями опирания пластинки поперечных краев пластинки.

П. 1. Пусть левый край шарнирно оперт - Кφ=0, правйй край свободный - Кw=0. Графики прогибов и внутренних усилий в среднем продольном сечении (h=0,5) квадратной пластинки при равномерно распределенной нагрузке приведены на рис. 6.21.

 

Как и для шарнирно опертой пластинки точность 3% обеспечивается при расчете с 2 членами ряда для всех параметров за исключением поперечной силы Qy, для уточненного расчета которой требуется 8-10 членов ряда. Отметим, что значение поперечной силы Qy, на свободном краю пластинки не равно нулю.

Рассмотрим характер изменения распределения параметров пластинки (прогибов и внутренних усилий), для удлиненной пластинки с теми же условиями опирания. Эпюры прогибов и внутренних усилий для пластинки с отношением сторон l=а/b= 2,5 приведены на рис. 6.22.

Из приведенных графиков видно, что прогиб и поперечный изгибающий момент Мy в среднем сечении пластинки несколько меньше их значений при цилиндрической изгибе пластинки. В тоже время прогиб и поперечный изгибающий момент на свободном краю превышают соответствующие значения при цилиндрическом изгибе, при этом меняется кривизна изгиба пластинки у свободного края. (см. рис. 6.11). Превышение прогиба и поперечного изгибающего момента на свободном краю по сравнению с соответствующими значениям при цилиндрическом изгибе шарнирно опертой пластинки составляют: