Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 11 )

; (6.3.23)

На рис. 6.17 приведены эпюры прогибов и внутренних усилий в характерных сечениях квадратной шарнирно опертой пластинки, загруженной равномерно распределенной в среднем сечении полосовой нагрузкой. Характер прогибов в продольном (ось х) сечении пластинки в средней части близок к параболическому, у поперечных краев пластинки прогиб близок к линейному (кривизна близка к нулю), что сказывается на характере изгибающих моментов Мх. Изгибающие моменты Му и поперечные силы Qу в продольном направлении распределяются по линейному закону.

Рис 6.18 отражает характер изменения распределения прогибов и внутренних усилий в продольных сечениях удлиненных пластин. Форма распределения прогибов и внутренних усилий в поперечных сечениях в удлиненных пластинках практически не меняется, их

эпюры в удлиненных пластинках не приводятся.

При удлинении пластинки l>2 в зоне поперечных кромок отрицательная кривизна прогибов изменяется на положительную, что приводит к затуханию изгибающих моментов Мх, которые на расстоянии »1,5b от среднего сечения (сечения приложения нагрузки) практически раны нулю.

При удлинении пластинки l³4 прогибы на расстоянии » равным удвоенной ширине пластинки от сечения с линейно распределенной в поперечном направлении нагрузкой затухают (равны нулю). Дальнейшее удлинение пластинки существенно не сказывается на значениях и характере распределения прогибов и внутренних усилий в средней зоне пластинки.

В2. Расчет пластинки загруженной сосредоточенной силой..

Заменяя сосредоточенную силу распределенной нагрузкой по площади - , получим

.

Тогда, получаем

. (6.3.24)

Для силы, приложенной в центре пластинки хР=а/2, уР=b/2

, m,n=1, 3, 5… (6.3.25)

Коэффициенты членов ряда прогибов и внутренних усилий при центральной силе определяются по формулам

;

;

;

.

;.

; (6.3.26)

При расчете прогибов ряды сходятся достаточно быстро. Для квадратной пластинки при расчете прогиба в центре пластинки достаточно взять 6 членов ряда получая точность 3%.

В табл. 6.6 приведены значения прогиба в центре пластинки при действии сосредоточенной силы, приложенной в центре шарнирно опертой квадратной пластинки при расчете с различным числом членов ряда. Использовался диагональный метод суммирования членов ряда. В таблице также приводится относительная невязка в отношении к точному значению прогиба . В расчете использовались только нечетные члены ряда (четные члены ряда дают нулевые значения)..

Таблица 6.6

K	1	3	5	7
M	1	3	6	10
a	0,01027	0,01109	0,01134	0,01144
d %	11,5	4,4	2,3	1,3

Здесь К – наибольшее значение индекса члена ряда, М – число членов ряда при диагональном методе суммирования.

При вычислении изгибающих моментов и поперечных сил сходимость значительно медленнее, особенно в близи от сосредоточенной силы. А непосредственно в точке приложения силы ряд вообще расходится – моменты и поперечные силы стремятся к бесконечности. Это связано в модели сосредоточенной силы. Если из пластинки вырезать вокруг приложенной силы элемент и устремить размеры элемента к нулю - , то интенсивность нагрузки , соответственно, значения моментов и поперечных сил на гранях этого элемента стремятся к бесконечности. Очевидно, что в зоне пластинки близкой к точке приложения сосредоточенной силы можно принять, что поперечная сила равномерно распределена по круговому контуру радиусом dr и, следовательно,

. (6.3.27)

В табл. 6.7 приведены значения поперечной силы рассчитанной с использование рядов (6.3.26) и по формуле (6.3.27).

Таблица 6.7

х/а	dr/а	Qx	Qr	d%
0	0,50	0,420	0,318	24
0,10	0,40	0,446	0,445	11
0,18	0,32	0,520	0,497	4,3
0,20	0,30	0,550	0,531	3,5
0,22	0,28	0,586	0,568	3,0
0,30	0,20	0,810	0,796	1,8
0,40	0,10	1,568	1,592	1,5
0,48	0,02	7,885	7,958	0,9

В расчете принято Р=1. При расчете использовалась диагональная нумерация членов ряда - К = 101, что при использовании нечетных членов ряда составило 1326 членов ряда. Для точки с dr=0,02 для достижения точности число членов ряда пришлось значительно увеличить К = 201 - 5151 член ряда. Как видно из результатов расчета формула (6.3.27) обеспечивает точность вычисления поперечной силы в пределах 3% на расстоянии dr<0,3а от точки приложения сосредоточенной силы.

Как уже отмечалось ранее, в практике не существует сосредоточенных сил. Любая нагрузка распределяется по некоторой, пусть малой области. Поэтому для улучшения сходимости при расчете изгибающих моментов сосредоточенную силу заменяют нагрузкой распределенной на некоторой конечной площади. При этом коэффициенты разложения сосредоточенной силы определяются согласно с формулой (6.3.20)

, (6.3.28)

где , .

Рассмотрим вопрос о влиянии зоны распределения сосредоточенной силы на прогибы и изгибающие моменты. Результаты расчетов отражены в таблицах 6.8,а, 8.8,б. Во втором столбце таблиц приведены значения прогибов и изгибающих моментов от сосредоточенной силы - a(P). Далее идут значения соответствующих величин при замене сосредоточенной силы распределенной нагрузкой, с зоной распределения . Приведены также значения относительных невязок значений от распределенных нагрузок к значениям от сосредоточенной силы. Как видно из табл. 6.8,а значения прогибов с точностью до 2% обеспечивается при распределении сосредоточенной силы при Dх = Dу = 0,1а.

Таблица 6.8,а

x/a	a(P)	dx=0,2	dw%	dx=0,1	dw%	dx=0,05	w%%
0	0	0	0	0	0	0	0
0,05	0,00148	000144	2,7	0,00147	0,7	0,00147	0,7
0,10	0,00294	0,00287	2,4	0,00293	0,1	0,00294	0
0,15	0,00439	0,00428	2,4	0,00436	0,2	0,00438	0,3
0,20	0,00579	0,00564	2,6	0,00575	0,7	0,00578	0,1
0,25	0,00714	0,00694	2,8	0,00709	0,7	0,00713	0,1
0,03	0,00840	0,00814	3,1	0,00834	0,7	0,00839	0,1
0,35	0,00955	0,00921	3,6	0,00947	0,8	0,00953	0,2
0,40	0,01053	0,01008	4,3	0,01042	1,0	0,01050	0,3
0,45	0,01126	0,01066	5,3	0,01111	1,3	0,01123	0,3
0,50	0,01160	0,01086	6,3	0,01137	2,0	0,01152	0,7

Таблица 6.8,b